查找素數？

Question

為了找出N是素數，我們只需要查找小於或等於sqrt（N）的所有數。 這是為什么？ 我正在編寫一個C代碼，試圖理解它背后的原因。

Answer 1

N是素數，如果它是一個正整數，它可以被正整數兩個正整數1和N整除。由於數的除數不能大於這個數，這就產生了一個簡單的素數測試：

• 如果大於1的整數N不能被[2, N-1]范圍內的任何整數整除，則N是素數。 否則，N不是素數。

但是，修改此測試以使其更快會很好。 所以讓我們調查吧。

注意，N的除數成對出現。 如果N可以被數字M整除，那么它也可以被N / M整除。 例如，12可以除以6，因此也可以除以2.此外，如果M >= sqrt(N) ，則N/M <= sqrt(N) 。

這意味着如果沒有小於或等於sqrt（N）的數字除N，則沒有大於sqrt（N）的數字除以N（除了1和N本身），否則會產生矛盾。

所以我們有一個更好的測試：

• 如果大於1的整數N不能被[2, sqrt(N)]范圍內的任何整數整除，則N為素數。 否則，N不是素數。

如果你考慮上面的推理，你應該看到通過這個測試的數字也通過了第一次測試，並且未通過這個測試的數字也沒有通過第一次測試。 因此測試是等效的。

Answer 2

一個復合數（一個非素數，或1）至少有一對因子，並保證每對中的一個數字小於或等於數字的平方根（這就是你正在詢問）。

如果你對數字的平方根進行平方，你得到數字本身（ sqrt(n) * sqrt(n) = n ），所以如果你把一個數字做得更大（比sqrt(n) ）你必須要做另一個較小。 如果您只檢查數字2到sqrt(n)您將檢查所有可能的因素，因為每個因素都將與一個大於sqrt(n)的數字配對（當然，如果數字是實際上是一個其他數字的正方形，如4,9,16等......但這並不重要，因為你知道它們不是素數;它們很容易被sqrt(n)本身考慮在內。

Answer 3

原因很簡單，任何大於sqrt的數字都會導致另一個乘數小於sqrt。 在這種情況下，您應該已經檢查過它。

Answer 4

設n = a × b是復合的。

假定一個 > SQRT（n）和B> SQRT（N）。

a × b > sqrt（ n ）×sqrt（ n ）

a × b > n

但是我們知道a × b = n ，因此是 <sqrt（ n ）或b <sqrt（ n ）。

由於您只需要知道a或b來顯示n是復合的，您只需要檢查最多為sqrt（ n ）的數字以找到這樣的數字。

Answer 5

因為在最壞的情況下，數字n可以表示為² 。

如果數字可以不同地表示，那么除數之一將小於a = sqrt(n) ，但另一個可以更大。