給出所有可能的不同數組的算法，這些數組的正整數元素總和為給定數

Question

對於任何輸入的正整數，給出可以求和的所有可能的正非零整數數組的算法。

例如，輸入4將返回（1,1,1,1），（1,1,2），（1,2,1），（2,1,1），（1,3），（3,1）， （2,2），（4）

不是功課，而是“研究”。 我只是迷路了。

擅長組合數學的人可能會知道這一點。

Answer 1

這是一些想法。

如果我沒記錯的話，數組的數目是2 N-1 ，並且數組映射到位模式，編碼從0到2 N-1 -1整數，如下所示：

我將舉例說明N = 4

第一個數組是全1。 想象一下位模式中的每個位對應於兩個數組單元之間的邊界

1 1 1 1 <- array elements
 | | |  <- sections
 0 0 0  <- bit pattern

位模式中的每1表示合並兩個相鄰單元

1 (1+1) 1  <- array elements (1 2 1)
 |  |  |   <- sections
 0  1  0   <- bit pattern


1 (1+1+1)  <- array elements (1 3)
 |  | |    <- sections
 0  1 1    <- bit pattern


(1+1) (1+1)<- array elements (2 2)
  |  |  |  <- sections
  1  0  1  <- bit pattern


(1+1+1+1)  <- array elements (4)
  | | |    <- sections
  1 1 1    <- bit pattern

要枚舉所有數組，您可以生成0到2 N-1 -1整數，並且對於獲得的每個位模式，都生成相應的數組。 將整數轉換為零和長度為N-1的字符串可能會有所幫助。 您可以按照以下方式解碼模式：

第一個單元格最初包含1 。 從左到右遍歷該模式，對於每個位，如果為1 ，則向當前單元格添加1 ；如果為0 ，則創建包含1新單元格。

N = 8的模式1 1 0 0 1 0 1將被解碼為數組

(3 1 2 2)

這是一些沒有參數驗證和從右到左處理模式的C ++代碼。 它只改變生成的數組的順序，並且更易於編寫代碼。

std::vector<std::vector<int> > generateArrays(unsigned int N)
{
    //validate the argument before processing
    // N > 0 and N <= numeric_limits<unsigned int>::digits

    unsigned int numOfArrays = (1U << (N-1));
    std::vector<std::vector<int> > result(numOfArrays);
    for(unsigned int i = 0; i < numOfArrays; ++i)
    {
        result[i].push_back(1);
        unsigned int mask = 1U;
        while(mask < numOfArrays)
        {
            if((i & mask) != 0)
            {
                result[i].back()++;
            }
            else
            {
               result[i].push_back(1);
            }
            mask <<= 1;
        }
    }
    return result;
}

Answer 2

遞歸！ 第一個條目（稱為a [0]）可以是從1到N的任何整數。然后，您只需要找到加在一起N-a [0]的所有不同的正非零整數數組。

Answer 3

遞歸方法

# Pseudo code, not any real language
function all_arrays_summing_to(int N) {
    array_of_arrays All_solutions = ();
    if (N == 1) return { [[1]] }; # This is array of one array containing 1 element with value 1
    for each number x in (1 .. N-1)  {
        array_of_arrays AA = all_arrays_summing_to(N - x);
        for each array A in (AA) {
            push x onto array A;
            Add A to All_solutions;
        }
    }
    return All_solutions;
}

Answer 4

也許這不是最優雅的解決方案，因為我使用“ Distinct”來過濾出重復的結果，但這是C＃中的一種方法。

一般的想法是將數字分成1的數組，然后將每個節點像樹一樣並排組合在一起，然后選擇不同的組合。 我像這樣描繪它：

   [1,1,1]
   /     \
[2,1]   [1,2]
    \   /
     [3]


class Program
{
    static void Main(string[] args)
    {
        Console.Write("Enter an integer value: ");
        int num = int.Parse(Console.ReadLine());

        var y = new int[num];
        for (int x = 0; x < num; x++)
            y[x] = 1;

        var results = Combine(y, num)
            .Distinct(new ArrayComparer())
            .OrderByDescending(r => r.Length)
            .ToArray();

        foreach (var result in results)
        {
            Console.Write('[');
            for (int x = 0; x < result.Length; x++)
            {
                if (x > 0)
                    Console.Write(", ");
                Console.Write(result[x]);
            }
            Console.WriteLine(']');
        }

        Console.ReadKey(true);
    }

    public class ArrayComparer : IEqualityComparer<int[]>
    {
        bool IEqualityComparer<int[]>.Equals(int[] x, int[] y)
        {
            if (x.Length == y.Length)
            {
                for (int z = 0; z < x.Length; z++)
                    if (x[z] != y[z])
                        return false;

                return true;
            }

            return false;
        }

        int IEqualityComparer<int[]>.GetHashCode(int[] obj)
        {
            return 0;
        }
    }

    public static IEnumerable<int[]> Combine(int[] values, int num)
    {
        int val = 0;
        for (int x = 0; x < values.Length; x++)
            val += values[x];

        if (val == num)
        {
            yield return values;

            if (values.Length - 1 > 0)
            {
                for (int x = 0; x < values.Length; x++)
                {
                    int[] combined = new int[values.Length - 1];
                    for (int y = 0; y < x; y++)
                        combined[y] = values[x];

                    if (values.Length > x + 1)
                        combined[x] = values[x] + values[x + 1];

                    for (int y = x + 2; y < values.Length; y++)
                        combined[y - 1] = values[y];

                    foreach (var result in Combine(combined, num))
                        yield return result;
                }
            }
        }
    }
}

輸出：

Enter an integer value: 4
[1, 1, 1, 1]
[2, 1, 1]
[1, 2, 1]
[1, 1, 2]
[3, 1]
[2, 2]
[1, 3]
[4]