圖算法，近似算法

Question

刪除隨機圖的dfs樹的葉子后，假設剩下的邊數是| S |，我們可以證明該圖的匹配是| S | / 2嗎？

Answer 1

這是一個證明。

定理：讓T成為i離開的任何一棵樹。 有一個(|T|-i)/2在匹配T 。

證明：通過歸納。 如果T是帶有i葉子的樹，那么讓T'成為從T移除所有葉子時產生的樹。 T'有j <= i離開。 類似地，讓T''是從T'移除所有葉子時產生的樹。 T''有k <= j葉。

通過感應應用定理T''所以存在着尺寸的匹配(|T''|-k)/2 = (|T|-ijk)/2在T'' 邊緣集合T-T'至少包含j邊緣，這些邊緣不會入射到T''任何邊緣或相互之間（在T'選擇一個入射到每個葉子的邊緣），因此添加這些邊緣以使T尺寸匹配(|T|-i+jk)/2 。 由於j >= k ，這至少是(|T|-i)/2邊緣。 QED。

我已經用/ 2掩蓋了地板/天花板問題，但我懷疑如果你把它們包括起來，那么證明仍然有效。