嵌套算法的計算復雜性

Question

給定一個數組a [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]，假設我們有一個算法可以執行以下操作：

for i in 0..a.length
  for j in 0..a.length
    ...

這將具有O（n ^ 2）的Big O運行時，因為對於每個元素，它將遍歷整個數組。

但是如果內部循環僅從外部索引向前移動怎么辦？

for i in 0..a.length
  for j in i..a.length
    ...

也就是說，相比之下，第一個算法將在每次迭代（外部循環）中查看n個元素。 第二個算法着眼於：

在為這種算法計算Big O運行時時，它仍然是O（n ^ 2）嗎？

Answer 1

這仍然是O（n ^ 2）。 和1 + 2 + ... + n是n（n + 1）/ 2，它是O（n ^ 2）。

更一般地，對於任何多項式函數p（n），p（1）+ p（2）+ ... + p（n）的和是O（np（n））。 這個證明要難得多，因為你必須推理n的任意冪的總和，但確實如此。 這意味着，例如，如果您將內部循環中的第三個循環嵌套在從j到n的范圍內，則運行時將為O（n ^ 3）。

Answer 2

如果給出a是該特定數組，那么該算法的時間復雜度是恆定的（或O（1））。 也許我讀過你的字面意思，但是對於最嚴格的O（n ^ 2），a必須是像[1,2，...，n]這樣的數組。 如果a顯式大小為10，則算法始終以相同的步數運行。

希望這個答案是不必要的，但我是一個離散數學課的助教，我們經常提出與此非常相似的技巧問題。 如果我誤解了這個問題，那么我為浪費你的時間而道歉！ 此外，已發布的答案非常好！