~x + ~y ==〜（x + y）總是假的？

Question

此代碼是否總是評估為false？ 這兩個變量都是兩個補碼簽名的整數。

~x + ~y == ~(x + y)

我覺得應該有一些數字滿足條件。 我嘗試測試-5000到5000之間的數字，但從未達到平等。 有沒有辦法建立一個方程來找到條件的解？

將一個換成另一個導致我的程序中的一個陰險的錯誤？

Answer 1

為了矛盾，假設存在一些x和一些y （mod 2 ⁿ ）

~(x+y) == ~x + ~y

通過兩個補碼*，我們知道，

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

注意到這個結果，我們有，

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

因此，矛盾。 因此，對於所有x和y （mod 2 ⁿ ）， ~(x+y) != ~x + ~y 。

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^{*值得注意的是，在具有一個補碼算術的機器上，相等實際上對於所有x和y 。 這是因為在一個補碼下， ~x = -x 。 因此， ~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y) 。}

Answer 2

兩個人的補充

在絕大多數計算機上，如果x是整數，則-x表示為~x + 1 。 等價地， ~x == -(x + 1) 。 在你的等式中進行這種替換給出了：

• ~x + ~y ==〜（x + y）
• - （x + 1）+ - （y + 1）= - （（x + y）+ 1）
• -x - y - 2 = -x - y - 1
• -2 = -1

這是一個矛盾，所以~x + ~y == ~(x + y)總是假的 。

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也就是說，小學生會指出C不需要兩個補碼，所以我們也必須考慮......

一個人的補充

在一個補碼中 ， -x簡單地表示為~x 。 零是一種特殊情況，具有全0（ +0 ）和全-1（ -0 ）表示，但IIRC，C需要+0 == -0即使它們具有不同的位模式，所以這不應該是一個問題。 只需用-代替~ 。

• ~x + ~y ==〜（x + y）
• -x +（-y）= - （x + y）

對於所有x和y都是如此 。

Answer 3

只考慮x和y的最右邊一點（IE。如果x == 13 ，基數2是1101 ，我們只看最后一位， 1 ）然后有四種可能的情況：

x = 0，y = 0：

LHS：~0 + ~0 => 1 + 1 => 10
RHS：〜（0 + 0）=> ~0 => 1

x = 0，y = 1：

LHS：~0 + ~1 => 1 + 0 => 1
RHS：〜（0 + 1）=> ~1 => 0

x = 1，y = 0：

我會把這個留給你，因為這是作業（提示：它與之前的x和y交換相同）。

x = 1，y = 1：

我也會把這個留給你。

給出任何可能的輸入，你可以證明在等式的左手側和右手側最右邊的位總是不同的，所以你已經證明雙方都不相等，因為它們至少有一個被翻轉的位彼此。

Answer 4

如果位數是n

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

現在，

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

因此，它們總是不相等，相差1。

Answer 5

暗示：

x + ~x = -1 （mod 2 ⁿ ）

假設問題的目標是測試你的數學（而不是你的閱讀C規范技能），這應該可以幫助你找到答案。

Answer 6

在一個和兩個（甚至是42個）的補充中，這可以證明：

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

現在讓a = y ，我們有：

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

要么：

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

因此在〜0 ~0 = -1的二進制補碼中，命題是錯誤的。

在一個補碼中， ~0 = 0 ，這個命題是正確的。

Answer 7

根據Dennis Ritchie的書，C默認不實現二進制補碼。 因此，您的問題可能並非總是如此。

Answer 8

設MAX_INT為011111...111表示的int（無論多少位）。 那么你知道， ~x + x = MAX_INT和~y + y = MAX_INT ，因此你肯定知道~x + ~y和~(x + y)之間的差值是1 。

Answer 9

C不要求兩個補碼是實現的。 但是，對於無符號整數，應用類似的邏輯。 在這個邏輯下，差異總是1！

Answer 10

當然，C不需要這種行為，因為它不需要二進制補碼表示。 例如， ~x = (2^n - 1) - x ＆ ~y = (2^n - 1) - y將得到此結果。

Answer 11

啊，基礎離散數學！

查看De Morgan定律

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

布爾證明非常重要！