在二維貝塞爾曲線上找到拐點

Question

我需要確定2d Bezier曲線上的拐點（曲率發生變化的點），參數為t ，如果存在，則0 <= t <= 1。 我最初的方法是沿曲線采樣，評估二階導數並找到導數符號變化的點。

2DVector curvature1, curvature2;
for (double t = 0, t <= 1.0; t += STEP) {
    curvature1 = bezier.CurvatureAt(t);
    curvature2 = bezier.CurvatureAt(t + (STEP/2.0 >= 1.0 ? 0 : t + STEP/2.0));
    if (isNegative(curvature1) ? isPositive(curvature2) : isNegative(curvature2)) {
        inflection_point = t;
    }
 }

其中CurvatureAt（）是一種在t處評估貝塞爾曲線的二階導數的方法，但是由於貝塞爾曲線是矢量值的函​​數，該導數作為2D向量（不是std :: vector，是2D向量類）返回的。 我不知道如何解釋矢量的“符號變化之處”。 基本上我不知道如何在上述代碼段中編寫isNegative或isPositive。

還有其他方法可以找到2d Bezier曲線上的拐點嗎？

由於貝塞爾曲線可以是任意程度的，所以我認為不可能確定一個封閉形式的解決方案，但是如果我錯了，請糾正我。

Answer 1

曲率與二階導數相關但不相同。

參數曲線P(t) = (x(t), y(t))有符號曲率實際上是一個數字，定義為：

k(t) = (x'y'' - x''y') / (x' * x' + y' * y')^(3/2)

如果使用此公式，則您的原始想法應該可行。

Answer 2

若要確定貝塞爾曲線上的拐點，請在時間間隔（0，1）中找到一個或多個[當然不包括端點]，貝塞爾曲線參數方程的一階和二階導數的叉積為零即f'X f''= 0。

在此頁和本文的第4 頁等各種來源中對此進行了說明 。

Answer 3

我認為您不需要這樣的循環。 根據此頁面 ，您可以在任何點計算貝塞爾曲線的曲率。 由於貝塞爾曲線具有多項式表達式，因此您可以輕松計算出曲率的符號何時發生變化。