大O復雜度O（n log n）vs O（n log m）

Question

我有一個算法，該算法采用具有n節點的DAG圖，並且對於每個節點，它都會在其鄰接節點上進行二進制搜索。 據我所知，這將是O(n log n)算法，但是由於log內的n僅對應於節點的鄰接，我想知道這是否會變成O(n log m) 。 m表示與每個節點相鄰的m個節點（直觀上，通常小於n ）。

為什么不O(n log m) ？ 我會說O(n log m)沒有意義，因為從技術上講m不是輸入的大小， n是。 此外，在最壞的情況下m可以是n因為一個節點可以很容易地連接到所有其他節點。 正確？

Answer 1

這里有兩種情況：

1. m ，相鄰節點的數量由常數C ，並且
2. m ，相鄰節點的數量僅受n ，節點數量的限制

在第一種情況下，復雜度為O(n) ，因為Log(C)是一個常數。 在第二種情況下，它是O(n*log(n))因為您在問題中進行了解釋（即“ m可以是n ）。

Answer 2

大O表示法為算法的復雜度提供了一個上限，因此，由於在最壞的情況下m等於n（准確地說是n-1），因此正確的復雜度應為O（n log n） 。

Answer 3

當然，在DAG中，一個節點連接到其他每個節點。 另一個示例是節點號為0,1,2 ... n的DAG，其中每個節點都有一條邊緣，通向所有編號更高的節點。

給出依賴於多個參數的復雜度估計的先例-http: //en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra%27s_algorithm引用了O（| E | + | V | log（| V |）的代價在某些情況下，這可能是有用的信息。

Answer 4

正確的是，在圖的最壞情況下，每個節點都有n-1個鄰居，這意味着它與其他每個節點都相連，但是如果每個節點都如此，那么它將不會是非循環圖。 因此，每個節點的平均鄰居小於n。

DAG中的最大邊數為：（n-1）n / 2

如果我們查看每個節點，則平均會有（n-1）/ 2個鄰居。 因此，在最壞的情況下，您的復雜度仍將保持O（n log n） 。