是復雜度O（log（n）+ log（n / 2）+ log（n / 4）+ log（n / 8）+ ... + log（2））= O（log（n））？

Question

作為家庭作業，我被要求在O（log（n））中編寫一個算法，我可以計算我寫的那個復雜度為O（log（n）+ log（n / 2）+ log（n / 4） + log（n / 8）+ ... + log（2））。

我認為它相當於O（n），因為它大致是log（n）* O（log（n））= O（n）。 但我不確定。 我知道家庭作業問題在這里不受歡迎，但我真的不知道另一種方法來找出它的復雜程度。 谷歌搜索並沒有幫助我。

要指定：n在N中，n = pow（2，c），c在N中

Answer 1

不，它不是O（log n）。 它是O（（log n） ² ）。

O(log(n) + log(n/2) + log(n/4) + log(n/8) + ... + log(2))
= O(log(n * n/2 * n/4 * n/8 * ... * 2))                    using log multiplication rule
= O(log(n * n * n * ... * n / 2 / 4 / 8 / ... / n))
= O(log(nlog n / 2 / 4 / 8 / ... / n))
= O(log(nlog n / (1 * 2 * 4 * 8 * ... * n/4 * n/2 * n))
= O(log(nlog n / ((1 * n) * (2 * n/2) * (4 * n/4) * ...)    group first and last terms
= O(log(nlog n / (n * n * n * ...))                         since we grouped terms,
= O(log(nlog n / n(log n)/2)                                      we halved the number of terms
= O(log(nlog n) - log(n(log n)/2))                             log division rule
= O(log n.log n) - ((log n)/2).log n)                      log power rule * 2
= O(log n.log n) - (log n.log n)/2)
= O(log n.log n)/2)
= O((log n)2/2)
= O((log n)2)                                              big-O doesn't care about constants

Answer 2

從一些基本的算術開始：

O(log n/2) = O( (log n) + log(1/2))

常量可以忽略。 因此：

O(log n / 2) = O(log n)

所以，你要添加一堆O（log n）。 多少？ 好吧，關於log（n）值得。 所以，這意味着該算法是：

O( (log n)^2)