log（n！）= O（（log（n））^ 2）嗎？

Question

我正在練習漸近分析的問題，並且對此問題感到困惑。

log(n!) = O((log(n))^2)嗎？

我能夠證明

log(n!) = O(n*log(n)) 
(log 1 + log 2 + .. + log n <= log n + log n + ... + log n)

和

 (log(n))^2 = O(n*log(n)) 
(log n <= n => (log n)^2 <= n*logn )

我無法繼續進行。 關於如何繼續進行的任何暗示或直覺？ 謝謝

Answer 1

根據斯特林的近似值 ：

log(n!) = n*log(n) - n + O(log(n))

因此，顯然log(n!)上限為O(nlogn)

下限可以通過刪除等式的前半部分來計算：

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) = log(n/2) + ... + log(n)
= log(n/2) + ... + log(n/2)
= n/2 * log(n/2)

因此，下界也是nlogn 。 顯然答案是否定的

Answer 2

我想我已經得到了我自己問題的答案。 我們將證明以下事實：

1） n*log(n)是log(n!)的嚴格限制

2） n*log(n)是(log(n))^2的上限

3） n*log(n)不是(log(n))^2的下限

有關（1）的證明，請參見this 。

問題本身提供了證明（2）和（3）。 的生長速率log n <的增長率n 。 因此log(n)^2增長率< n*log(n)增長率。 因此log(n)^2 = o(n*log(n)) （在這里我很少使用-o來表示n*log(n)增長率嚴格大於log(n)^2增長率

因此結論是log(n!) = big-omega(log(n^2))如果我犯了任何錯誤，請糾正我