什么是log（O（n * log（n）））？

Question

我目前正在算法類中學習大O表示法，但偶然發現了困擾我的這個特殊問題。 如果我們知道形式定義成立，是否可以將O（n lg（n））表示為c * n * lg n？ 意思是，如果f（n）<= c n lg n，並且該定義對於某些常數成立，則O（n lg n）可以表示為c * n * lg n？ 如果我的假設是正確的，那么我們可以做：

= lg（O（n lg n））

= lg（c * n * lg n）

= lg（c）+ lg（n）+ lg（lg（n））

如果在這種情況下lg（n）是最高階項，那么這會簡化為O（lg（n））嗎？ 由於所有低階項最終都將與高階項重疊？

Answer 1

是的，您完全正確，數學正確。

Answer 2

您的問題有點難以理解。 我想你在問：

假設我們有一個函數f ，它漸近地以O(n lg n)的速率增長。 函數lg ∘ f是否漸近地以O(lg n)的速率增長？

是的，它確實。

更新：評論員保羅·漢金（Paul Hankin）提出了一個反例。 也許這是正確的嗎？

假設我們有一個函數f ，它以O(n lg n)的速率漸近增長。 函數lg ∘ f是否以O(lg n)的速率漸近增長？

我認為答案是肯定的。

Answer 3

您試圖證明lg(O(n lg n)) = O(lg n) 。 這有點非標准符號，但它意味着，對於所有f在O(n lg n) ，有一個g在O(lg n) ，使得log(f) = g 。 這在Wikipedia上進行了解釋： https ： //en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Multiple_usages

該陳述並不完全正確。 例如， f = 2^(-n)在O(n lg n) ，但是lg(f) = -n不在O(lg n) 。 但是，如果我們將自己限制為大於1 f ，那么它是正確的。

如果f = O(n lg n) ，則存在一個c ，對於所有足夠大的n ， f(n) < cn lg n 。 然后lg(f(n)) < lg(c) + lg(n) + lg(lg(n)) = O(lg n) 。 由於lg(f(n)) > 0 ，因此我們有了lg(f(n)) = O(lg n) 。 從本質上講，這是您從問題中得到的證明，同時對定義稍加注意，並確保lg(f(n))既不大也不為負。