什么是O（n * log m）+ O（m）？

Question

我對大O表示法的加法感到困惑。

我要創建一種算法，以找到具有學校問題的其他一些要求的圖形的MST。 它的時間復雜度為O（E * log V） ，其中E是圖中的邊數，而V是圖中的頂點數。 我已經找到了O（E * log V）+ O（V）的解決方案。

是否滿足O（E * log V）+ O（V）= O（E * log V）嗎？

感謝您的所有答案！ 我在連接圖上，在未連接圖上假設這種復雜性，我的算法在O（E * log V）中工作 。

Answer 1

對於任何x，您都可以制作一個具有x邊和2個（大部分是斷開的）頂點的圖形。

對於這樣的圖，E log V =x²，所以（V + E log V）/（E log V）=（2ˣ+x²）/x²。

這隨着x的增加而無限制地增長，因此，即使對於圖形，O（E log V）+ O（V）與O（E log V）也不同。

但是，如果您指定連接圖，則您有V <E。在這種情況下，只要V> = 2，您就有V + E log V <E + E log V <= 2（E log V）

因此，對於連通圖，O（E log V）= O（E log V）+ O（V）。

Answer 2

O（ElogV + V）與O（ElogV）不同。 通常，V可以比ElogV任意大，這使兩個復雜度類不同。

但是，假設您有一個O（ElogV + V）時間算法來查找某個MST（如果存在），則可以將其轉換為有保證的O（ElogV）時間算法，並假設該圖以鄰接表的形式表示。

我們可以在O（E）時間內確定E> = V / 2。 遍歷圖的頂點，看看該頂點附近是否有邊。 如果找到沒有相鄰邊的頂點，則該圖顯然沒有MST，因為該頂點未連接到圖的其余部分。 如果遍歷了所有頂點，則知道E> = V / 2。 如果在n個步驟后發現沒有相鄰邊的頂點，則知道圖中至少有（n-1）/ 2個邊，因此此過程需要O（E）時間（即使天真的看起來是O（ V）時間）。

如果E小於V / 2，則圖形斷開連接（因為在連接的圖形中，E> = V-1），並且沒有MST。

因此：檢查E> = V / 2，僅在這樣的情況下，運行MST算法。

這需要O（E + ElogV + V）= O（E + ElogV + 2E）= O（ElogV）時間。