什么是O（n * log m）+ O（m）？

Question

我对大O表示法的加法感到困惑。

我要创建一种算法，以找到具有学校问题的其他一些要求的图形的MST。 它的时间复杂度为O（E * log V） ，其中E是图中的边数，而V是图中的顶点数。 我已经找到了O（E * log V）+ O（V）的解决方案。

是否满足O（E * log V）+ O（V）= O（E * log V）吗？

感谢您的所有答案！ 我在连接图上，在未连接图上假设这种复杂性，我的算法在O（E * log V）中工作 。

Answer 1

对于任何x，您都可以制作一个具有x边和2个（大部分是断开的）顶点的图形。

对于这样的图，E log V =x²，所以（V + E log V）/（E log V）=（2ˣ+x²）/x²。

这随着x的增加而无限制地增长，因此，即使对于图形，O（E log V）+ O（V）与O（E log V）也不同。

但是，如果您指定连接图，则您有V <E。在这种情况下，只要V> = 2，您就有V + E log V <E + E log V <= 2（E log V）

因此，对于连通图，O（E log V）= O（E log V）+ O（V）。

Answer 2

O（ElogV + V）与O（ElogV）不同。 通常，V可以比ElogV任意大，这使两个复杂度类不同。

但是，假设您有一个O（ElogV + V）时间算法来查找某个MST（如果存在），则可以将其转换为有保证的O（ElogV）时间算法，并假设该图以邻接表的形式表示。

我们可以在O（E）时间内确定E> = V / 2。 遍历图的顶点，看看该顶点附近是否有边。 如果找到没有相邻边的顶点，则该图显然没有MST，因为该顶点未连接到图的其余部分。 如果遍历了所有顶点，则知道E> = V / 2。 如果在n个步骤后发现没有相邻边的顶点，则知道图中至少有（n-1）/ 2个边，因此此过程需要O（E）时间（即使天真的看起来是O（ V）时间）。

如果E小于V / 2，则图形断开连接（因为在连接的图形中，E> = V-1），并且没有MST。

因此：检查E> = V / 2，仅在这样的情况下，运行MST算法。

这需要O（E + ElogV + V）= O（E + ElogV + 2E）= O（ElogV）时间。