O(m * n) + O((m + n) * log(m + n)) 的复杂度评估是多少

Question

我有以下 Python 代码，a 和 b 是列表（我知道这不是获得交集的最佳方式）：

def get_intersection(a, b):
    a = set(a)
    b = set(b)
    c = sorted(list(a&b))
    return c

让我们调用 len(a) - m 和 len(b) - n，其中没有关于 a 和 b 的附加信息。 那么给定代码的时间复杂度为 O(m) + O(n) + O(m * n) + O((m + n) * log(m + n))。

我绝对可以缩短 O(m) 和 O(n)，因为它们远小于 O(m * n)，但是我应该如何处理 O((m + n) * log(m + n))？

我如何比较 O(m * n) 和 O((m + n) * log(m + n))？ 我应该在最终评估中保留 O((m + n) * log(m + n)) 吗？

Answer 1

您可以将总输入大小视为n ； 哪个论点对总数的贡献并不重要。 （两个极端是当一个或另一个参数为空时；将项目从一个参数移动到另一个参数不会改变您将要做的工作总量。）

因此， set(a)和set(b)都是 O(n) 运算。

a & b也是 O(n); 您不需要将a的每个元素与b每个元素进行比较来计算交集，因为集合是基于哈希的。 您基本上只需进行 O(n) 次恒定时间查找。 （我忽略了使设置查找线性化的可怕的极端情况。如果您的数据具有一个哈希函数，该函数不会将每个项目都映射到相同的值，那么您将不会遇到最坏的情况。）

sorted(a&b) （不需要先创建一个列表，但这也只是一个 O(n) 操作）需要 O(n lg n)。

因为前面的每一个操作都是依次执行的，所以get_intersection的总复杂度是O(n lg n)。

Answer 2

我不认为你可以简化表达式。

事实上，如果你将m设置为一个常数值，比如5 ，你有一个复杂性

5n + (n+5)log(n+5) = O(n log(n))

并且第一项被吸收。

但是如果你设置m = n ，

n² + 2n log(2n) = O(n²)

这一次第二项被吸收了。 因此你只能写

O(mn + (m+n) log(m+n)).

随着变量的变化， s是总和， p是乘积，

O(p + s log(s)).