O(m * n) + O((m + n) * log(m + n)) 的復雜度評估是多少

Question

我有以下 Python 代碼，a 和 b 是列表（我知道這不是獲得交集的最佳方式）：

def get_intersection(a, b):
    a = set(a)
    b = set(b)
    c = sorted(list(a&b))
    return c

讓我們調用 len(a) - m 和 len(b) - n，其中沒有關於 a 和 b 的附加信息。 那么給定代碼的時間復雜度為 O(m) + O(n) + O(m * n) + O((m + n) * log(m + n))。

我絕對可以縮短 O(m) 和 O(n)，因為它們遠小於 O(m * n)，但是我應該如何處理 O((m + n) * log(m + n))？

我如何比較 O(m * n) 和 O((m + n) * log(m + n))？ 我應該在最終評估中保留 O((m + n) * log(m + n)) 嗎？

Answer 1

您可以將總輸入大小視為n ； 哪個論點對總數的貢獻並不重要。 （兩個極端是當一個或另一個參數為空時；將項目從一個參數移動到另一個參數不會改變您將要做的工作總量。）

因此， set(a)和set(b)都是 O(n) 運算。

a & b也是 O(n); 您不需要將a的每個元素與b每個元素進行比較來計算交集，因為集合是基於哈希的。 您基本上只需進行 O(n) 次恆定時間查找。 （我忽略了使設置查找線性化的可怕的極端情況。如果您的數據具有一個哈希函數，該函數不會將每個項目都映射到相同的值，那么您將不會遇到最壞的情況。）

sorted(a&b) （不需要先創建一個列表，但這也只是一個 O(n) 操作）需要 O(n lg n)。

因為前面的每一個操作都是依次執行的，所以get_intersection的總復雜度是O(n lg n)。

Answer 2

我不認為你可以簡化表達式。

事實上，如果你將m設置為一個常數值，比如5 ，你有一個復雜性

5n + (n+5)log(n+5) = O(n log(n))

並且第一項被吸收。

但是如果你設置m = n ，

n² + 2n log(2n) = O(n²)

這一次第二項被吸收了。 因此你只能寫

O(mn + (m+n) log(m+n)).

隨着變量的變化， s是總和， p是乘積，

O(p + s log(s)).