是O（（log n）！）多項式？

Question

我想找到O((log n)!) 。 我認為O((log n)!)和O(n!)是相等的！ 因為我認為n是無限的(log n)! 和n! 是平等的。 這是真的嗎？ 如果是，我該怎么表明？ 如果不是O((log n)!)多項式？

Answer 1

我認為你的后續問題是(logn)! 是多項式有界的。 這顯然不是多項式本身。 斯特林的近似給了我們

n!≤en^[n+1/2]*e^(−n)

所以，

(log n)!≤e(log n)^[1/2+log n]*e^(−log n)

現在(log n)^log n=(e^loglogn)^logn=e^[(logn)⋅(loglogn)]

因此，增長的順序大約為e^[(logn)(loglogn)−logn] =n^[(loglogn)−1]

遺憾的是，這不受任何多項式的限制，因為loglogn最終將超過任何正整數。

例如，比較(log n)! 用n^2 。

在n=e^10,(log n)!=3480 ，而(e^10)2≈4.85×108

在n=e^100,(log n)!≈10157 ，而e^200≈1086

Answer 2

由於已經完成了正確的數學運算，讓我為任何給定的c添加更直觀的解釋為什么O(log(n)!) > O(n^c) 。 我們假設對數是基數2，為簡單起見，選擇c為10.（該參數對於不同數量的一般值也同樣有用）。

那么，為什么會log(n)! 增長超過n^10 ？ 讓我們來看兩個函數的2的冪值，更具體地說，它們與2的最后一次冪相比增長了多少。（從現在開始n = 2^p ）

log(2^p)! = p * log(2^(p-1))! ， (2^p)^10 = 2^10 * (2^(p-1))^10 。 這可能看起來很復雜，但它告訴我們log(n)! 函數會將每個p次冪2的值乘以p ，但是n^10會將它的值乘以1024 ，所以log(n)! 最終會變得越來越大。

另外， log(n)! 比任何指數增長都慢，類似的參數可以通過觀察當n增長1時兩個函數乘以它們的值有多少。

Answer 3

讓我們回到一些基礎數學：
我們知道如果log a> log b，那么a> b :( log base大於1）
點擊這里獲取更多信息

現在我們知道log（N！）= NLogN （ 見這里是為了證明 ）

我們得到， log（（log N）！）= logN logLogN
以來，
log（N！）是多項式，log（（log N）！）是對數階，
顯然， O（N！）> O（（logN）！）
希望這可以幫助。

Answer 4

通過使用斯特林的近似表明$ n！ 〜\\ sqrt {2 \\ pi n} \\ frac {n} {e} ^ n（1 + O（frac {1} {n}））$，並使用$ \\ log {n} $的相同公式，可以檢查$ n！ 對於$ \\ log {n}，$的主要因素是$ n ^ n $！ $相同的因子變為$ \\ log {n} ^ \\ log {n} $。 通過使用$ \\ ln {n} \\ leq n - 1 $的事實，我相信你可以很容易地證明$ O（\\ log {n}！）$小於$ O（n！）$。