使用Ogden引理與常規泵浦引理用於無上下文語法

Question

我正在學習問題中的引理之間的區別。 我能找到的每個引用都使用了這個例子：

{(a^i)(b^j)(c^k)(d^l) : i = 0 or j = k = l}

顯示兩者之間的差異。 我可以找到一個使用常規引理來“反駁”它的例子。

選擇w = uvxyz，st | vy | > 0，| vxy | <= p。 假設w包含相等數量的b，c，d's。

我選擇了：

u,v,x = ε
y = (the string of a's)
z = (the rest of the string w)

抽取y只會增加a的數量，如果| b | = | c | = | d | 起初，它現在還會。

（類似的論據，如果w沒有a。那么只需抽出你想要的任何東西。）

我的問題是，奧格登的引理如何改變這一策略？ “標記”有什么作用？

謝謝！

Answer 1

這里一個重要的絆腳石問題是“能夠泵送”並不意味着沒有上下文，而是“無法泵送”表明它不是無環境的。 同樣， 灰色並不意味着你是一頭大象，但作為大象確實意味着你是灰色的......

Grammar context free        => Pumping Lemma is definitely satisfied  
Grammar not context free    => Pumping Lemma *may* be satisfied
Pumping Lemma satisfied     => Grammar *may* be context free
Pumping Lemma not satisfied => Grammar definitely not context free
# (we can write exactly the same for Ogden's Lemma)
# Here "=>" should be read as implies

也就是說，為了證明語言不是上下文，我們必須證明它失敗 （！）以滿足這些語法中的一個。 （即使它滿足兩者，我們還沒有證明它是無上下文的。）

下面是草圖證明L = { a^ib^jc^kd^l where i = 0 or j = k = l}不是無上下文的（雖然它滿足抽水引理，它不滿足Ogden的引理） ：

無上下文語法的抽取引理：

如果語言L是無上下文的，則存在一些整數p ≥ 1 ，使得任何字符串s在L具有|s| ≥ p |s| ≥ p （其中p是泵浦長度）可寫為s = uvxyz
使用子字符串u, v, x, y and z ，這樣：
1. |vxy| ≤ p |vxy| ≤ p ，
2. |vy| ≥ 1 |vy| ≥ 1 ，和
3.對於每個自然數n uv^nxy^nz在L中。

在我們的例子中：

對於L任何s （帶|s|>=p) ：

• 如果s包含a當時的選擇v=a, x=epsilon, y=epsilon （和我們沒有矛盾語言是上下文無關）。
• 如果s不包含a S（ w=b^jc^kd^l和之一j ， k或l是非零的，因為|s|>=1 ），則選擇v=b （如果j>0 ， v=c elif k>0 ，否則v=c ）， x=epsilon ， y=epsilon （我們與沒有上下文的語言沒有矛盾 ） 。

（很遺憾： 使用Pumping Lemma，我們無法證明任何關於L事情！
注意：上面的內容基本上就是你在問題中提出的論點。）

奧格登的引理：

如果語言L是無上下文的，則存在一些數字p > 0 （其中p可以是或可以不是抽取長度），使得對於任何長度至少為p in L字符串w以及每種“標記” p或者w ， w更多位置可以寫成w = uxyzv
使用字符串u, x, y, z,和v ，使得：
1. xz至少有一個標記位置，
2. xyz最多有p標記位置，並且
3.對於每個n ≥ 0 ux^nyz^nv為L

注：此標記是奧格登引理的重要組成部分，它說：“不但可以每一個元素被‘抽’，但也可以用任意抽p標記位置”。

在我們的例子中：

設w = ab^pc^pd^p並標記b s的位置（其中有p ，所以w滿足Ogden引理的要求），讓u,x,y,z,v成為滿足分解的分解來自奧格登引理的條件（ z=uxyzv ）。

• 如果x或z包含多個符號，則ux^2 yz^2 w不在L ，因為將存在錯誤順序的符號（考慮(bc)^2 = bcbc ）。
• x或z必須包含b （通過引理條件1）

這讓我們有五種情況需要檢查（對於i,j>0 ）：

• x=epsilon, z=b^i
• x=a, z=b^i
• x=b^i, z=c^j
• x=b^i, z=d^j
• x=b^i, z=epsilon

在每種情況下（通過比較b s， c s和d s的數量）我們可以看到ux^2 vy^2 z不在L （並且我們與無上下文的語言有矛盾 （！），也就是說， 我們已經證明L不是無上下文的 。

。

總而言之， L不是沒有上下文的，但是這不能用泵浦引理來證明 （但可以通過Ogden的引理），因此我們可以這樣說：

Ogden的引理是無背景語言的第二個更強大的引理。

Answer 2

我不太確定如何在這里使用奧格登的引理，但你的“證據”是錯誤的。 當使用泵浦引理來證明語言不是上下文時，你不能選擇拆分為uvxyz。 分裂是“為你”選擇的，你必須證明任何uvxyz都沒有滿足引理。