計算素數列表中位置的最佳方法是什么？

Question

例如

f(2)->1
f(3)->2
f(4)->-1 //4 is not a prime
f(5)->3
...

通常，做一個素數生成器並在達到x之前計數

def f(x):
    p = primeGenerator()
    count=1
    while True:
        y = next(p)
        if y>x:
            return -1
        elif y==x:
            return count
        else:
            count+=1

這不是太慢嗎？盡管我可以緩存下一個調用的列表，但是如果我保證輸入必須為素數，那么不必測試輸入數字是否為素數，是否有更快的公式可以得出回答？

Answer 1

最好的方法取決於您獲得什么輸入，以及該函數將被調用多次還是僅被調用一次或幾次。

如果經常調用它，並且您將要收到的所有輸入都很小，例如不大於10 ⁷ ，那么最好的方法是預先創建一個查找表，然后查找輸入。

如果不經常調用它，並且所有輸入量都很小，僅生成不超過輸入數的質數並對其進行計數就足夠了。 記住下一個調用的內容可能會有所增強，因此當第一個參數是19394489，下一個是20889937時，您無需再次從0開始，而只需要查找之間的質數他們。 但是，是否值得擁有額外的存儲空間取決於傳遞的參數。

如果要經常調用，參數是不是太大，不超過10月^13日說，最好的方法是預先計算的值π(n)的一些選擇值n ，並為每個參數查找的價值下一個較小的預先計算的點，然后生成並計算該點與目標值之間的質數（或者，如果目標距離下一個較大的預先計算的點較近，則計算目標與該目標值之間的質數）。

如果您為10 ^7的所有倍數計算不超過10 ^13的 π(n) ，您將獲得一個具有一百萬個條目的查找表，這對當今的內存來說不是很費力，並且永遠不必篩選大於500萬的范圍，不需要很長時間。

您還可以將查找表作為文件或數據庫存儲在磁盤上，這樣可以縮短預計算點之間的間隔。 這也將減少啟動時讀取預計算表中的時間，但是現在查找將涉及對文件系統的訪問，這比讀取內存需要更長的時間。 最佳策略將取決於預期的投入及其運行的系統。

但是，如果上限不小的話，計算查找表將花費相當長的時間，但這是一次性的成本。

如果期望的輸入較大，最多可以說10 ^16個 ，並且您不願意花費時間為該范圍的查找表進行預計算，那么最好的選擇是為質數計算功能實現更好的算法之一， 由Lehmer改進的Meissel方法相對容易實現（雖然不那么容易，我在這里給出示例實現，但是這里有一個Haskell實現可能會有所幫助）。 Miller等人改進的方法更好，但更復雜。

除此之外，您還需要研究當前的最新技術，並且可能應該使用比Python更底層的語言。

Answer 2

您必須檢查所有先前的候選對象的素數。 沒有捷徑。 如您所說，您可以緩存先前計算的結果並從那里開始，但這確實是您可以做的最好的事情。