無法在Matlab中求解非線性方程

Question

我正在使用具有求解功能的Matlab符號工具箱 ，並嘗試求解由4個方程組成的非線性系統，

具有4個變量：

x1 y1 x2 y2

和4個參數

 delta1 delta2 alpha beta

下圖描述了這些方程式：

這是Matlab代碼：

syms x1 x2 y1 y2 alpha beta delta1 delta2

[x1,y1,x2,y2] = solve('delta1 * x1^alpha * y1^(1 - alpha) = (1 - x2)^alpha * (1 - y2)^(1-alpha)',...
    'delta2 * x2^alpha * y2^(1 - alpha) = (1 - x1)^beta* (1 - y1)^(1-beta)',...
    'alpha / (1-alpha) * (1 - y2) / (1 - x2) = beta / (1 - beta) * y2/x2',...
    'alpha / (1-alpha) * y1 / x1 = beta / (1 - beta) * (1 - y1) / (1 - x1)','x1','y1','x2','y2')

Matlab返回：

警告：找不到明確的解決方案。

>在81解決

但是，如果我嘗試將alpha和beta都替換為0.5 。

[x1,y1,x2,y2] = solve('delta1 * x1^0.5 * y1^ 0.5 = (1 - x2)^0.5* (1 - y2)^0.5',...
    'delta2 * x2^0.5 * y2^0.5 = (1 - x1)^0.5* (1 - y1)^0.5',...
    '(1 - y2) / (1 - x2) = y2/x2',...
    'y1 / x1 = (1 - y1) / (1 - x1)','x1','y1','x2','y2')

然后Matlab將給出結果。

所以我想知道：

1. 這些方程式真的不可解嗎？

2. 如果可以解決，我是否以錯誤的方式使用Matlab Symbolic Toolbox？ Matlab實際上可以解決它。

3. 如果Matlab沒有足夠的能力來解決它，還有其他工具可以解決非線性方程組嗎？

Answer 1

幾乎可以肯定，不，這些都是無法解析的。 除非alpha和beta為1或零（或顯然為1/2），否則這些方程將等效於對於解析解來說太高階的方程，盡管如果不仔細看我就無法確定。 但是對於一般的真實Alpha，這是太多的事情了。

是的，我知道計算機是大型，快速，強大的。 他們可以做任何事情，對不對？ 但是，看看當您嘗試求解聯立多項式方程時會發生什么。

例如，當您消除一個未知數時，兩個未知數中的兩個二次方程將簡化為四階方程。 可以求解具有非恆定系數的四階多項式方程。 但是您有四個方程，每個方程本質上都是二次的。 （每個方程式中都有變量的乘積。）因此，如果您嘗試用符號方式求解，則其中的4個將等於八階多項式。 它將具有一般的非恆定系數。 而且，我們知道5階多項式或更高階的多項式通常沒有解析解。 因此，盡管您可能會很幸運，但也許可以肯定地說，對於某些特殊的alpha和beta值，沒有這樣的分析解決方案。

對於一般的真實Alpha，情況更糟。 根本就沒有解決方案的期望。 當您嘗試時，它失敗的事實支持這一點。 但是，嘿，一台更大的計算機可能會找到答案。 對不起，但事實並非如此。

Answer 2

您應該嘗試使用Matlab的mupad命令。 它打開了一個類似於Maple的符號編程環境，它比符號庫功能強大得多。 如果您的方程式有解（甚至有些虛構的解，或者它們的解確實是特定情況），則符號環境肯定會找到它們。

試試看！

編輯：看到@woodchips答案（似乎比我知道的更多！），您也可以嘗試求解已知alpha beta范圍的方程式。 您可以假設它們將具有哪些值並從一個范圍進行迭代。 我只是不知道它是否會起作用，這就是我在您的情況下要嘗試的方法。

仍然不要放棄嘗試使用mupad ，它可能會起作用（在空間上，如果您做一些假設，例如： assume alpha real的命令。只需檢查幫助即可）