如果“List”是一個幺半群，它的“集合”是什么？

Question

只需閱讀類別理論書 ，並決定將其應用於haskell。

作者將Monoid定義為：

Monoid是一個L組，配有二進制運算*：LxL-> L和L中的區分單位元素u等...

將“List”結構作為monoid，很明顯二進制運算是concat ，unit是[] 。

但是這里的M是什么？ 我試過L = {set of all lists}但我認為這導致我遇到麻煩“L是L？” 問題，這似乎與集合有同樣的問題。

還是我想錯了什么？

編輯：正如@a​​pplicative所指出的，Haskell的列表是名為Free monoids的monoid！

Answer 1

不是說“List is a Monoid”，而是說“對於所有類型a，類型[a]是Monoid”更准確。 因此，對於任何特定類型a ，您的L將是L = {set of all lists of as} 。 根據這個定義，L當然不能包含它自己。

Answer 2

對於任何類型的t你可以有

L = all elements of the type [t]

然后L是使用++的瑣碎方式的幺半群。 事實上，我們在Haskell中將其形式化

class Monoid m where
   mempty  :: m
   mappend :: m -> m -> m

這是一個類型的“類”，具有形成幺半群的必要操作，所以

instance Monoid [a] where
   mempty = []
   mappend a b = a ++ b

事實上，這被稱為“免費幺半群”