Agda類型檢查和+的交換/相關性

Question

由於Nat的_+_ -Operation通常是在第一個參數中遞歸定義的，因此對於類型檢查器而言，知道i + 0 == i顯然是非常重要的。 但是，當我在固定大小的向量上編寫函數時，我經常遇到這個問題。

一個例子：我如何定義Agda函數

swap : {A : Set}{m n : Nat} -> Vec A (n + m) -> Vec A (m + n)

它將前n值放在向量的末尾？

因為Haskell中的簡單解決方案是

swap 0 xs     = xs
swap n (x:xs) = swap (n-1) (xs ++ [x])

我在Agda中類似地嘗試過這樣的：

swap : {A : Set}{m n : Nat} -> Vec A (n + m) -> Vec A (m + n)    
swap {_} {_} {zero} xs          = xs 
swap {_} {_} {suc i} (x :: xs)  = swap {_} {_} {i} (xs ++ (x :: []))

但是類型檢查器失敗並顯示消息（與上面的swap -Definition中的{zero} -case相關）：

.m != .m + zero of type Nat
when checking that the expression xs has type Vec .A (.m + zero)

所以，我的問題：如何教Agda， m == m + zero ？ 以及如何在Agda中編寫這樣的swap函數？

Answer 1

教授m == m + zero Agda並不太難。 例如，使用標准類型進行相等證明，我們可以編寫此證明：

rightIdentity : (n : Nat) -> n + 0 == n
rightIdentity zero = refl
rightIdentity (suc n) = cong suc (rightIdentity n)

然后，我們可以使用rewrite關鍵字告訴Agda使用此證明：

swap : {A : Set} {m n : Nat} -> Vec A (n + m) -> Vec A (m + n)    
swap {_} {m} {zero} xs rewrite rightIdentity m = xs 
swap {_} {_} {suc i} (x :: xs) = ?

但是，為第二個等式提供必要的證明要困難得多。 一般來說，嘗試使計算結構與類型結構相匹配是一個更好的主意。 這樣，你可以通過很少的定理證明（或在這種情況下沒有）。

例如，假設我們有

drop : {A : Set} {m : Nat} -> (n : Nat) -> Vec A (n + m) -> Vec A m
take : {A : Set} {m : Nat} -> (n : Nat) -> Vec A (n + m) -> Vec A n

（兩者都可以在沒有任何定理證明的情況下定義），Agda很樂意接受這個定義而不用大驚小怪：

swap : {A : Set} {m n : Nat} -> Vec A (n + m) -> Vec A (m + n)
swap {_} {_} {n} xs = drop n xs ++ take n xs