計算所有可能的組合

Question

前言

考慮一個由12個元素組成的列表，數組或字符串，它們是無關的值（比方說E）。 每個元素最多可鏈接到另一個相鄰元素，或者如果它是列表的最后一個元素，則它可以鏈接到第一個元素。

有效列表的示例，其中破折號表示鏈接，“E”表示元素。

E E E E E E E E E E E E 
E E-E E-E E E E-E E-E E
E E E-E E E-E E-E E E E-

無效列表的示例。

E-E-E E E E E-E E E E E-

題

我想計算唯一列表的總數，然后打印它們。

要解決這個問題，什么可能是表示數據的最佳方式？

是否最好實現特定於此問題的數據結構？

我希望用Java實現這一點，但如果您認為不同的語言更適合我，我願意接受建議。

為什么

這不是一個功課問題。

我們的想法是在12/8的條形圖中找到每個節奏模式，僅由八分音符的單組和雙組組成，其中可以綁在條形線上。

Answer 1

在這里計算可能性的數量實際上有一個非常巧妙的解決方案（在我看來）。

請注意，對於n個音符，如果第一個音符連接到第二個音符，則可能的連接數（ C(n) ）是C(n-2) 。 否則它是C(n-1) 。 這意味着

C(n) = C(n-1) + C(n-2)
C(1) = 3 //Either the first and second are connected, 
         //neither are connected, or the end is connected.
C(0) = 2 //Either the end is connected or it isn't

注意：如果單個音符示例中的最后一個音符可以“連接到它自己”G（0）是1，否則，它是0.此外，我不清楚EE和E E-是否是分開的，如果它們不是那么， C(1)是2不3.注意這些只適用於對自己的 0或1的序列，你得有一個如果實際的功能之外聲明C(n)返回1而不是2。否則它擰緊整個復發。 有點亂，但這是算法中真實世界數據的本質

這意味着你基本上有一個斐波那契系列的變種！ 好吧？

數據表示

我會有一個n boolean的列表。 數組可以正常工作。 如果連接了2個音符，則數組中的該條目應為true 。 我將索引0作為第一和第二個音符的連接，索引n-1是最后一個音符是否連接到任何東西。

排列生成

我們計算可能性總數的方式非常適合於生成方法（ G(n) ）。 對於n，我們需要將EE加到G(n-2)和E到G(n-1) 。

在這種復發的基礎上，我們有：

G(0) = {E, E-} 
G(1) = {E-E, E E, E E-}

Answer 2

如果你讓元素間空間成為你的主要數據，那么你就有12個“空格”（最后一個是與第一個空格相關的結尾）。

每個“空間”可以是空白的或具有鏈接。 所以你可以把它表示為0或1.所以最多有2 ^ 12種可能性。 這是一個相當小的數字（4096），所以你可以生成所有這些，然后清除那些相鄰的1。

Answer 3

我認為變種的總數是466。

可以按如下方式計算數字：

如果我們假設EE鏈接被標記為Y，那么例如在12中僅有兩個E被連接的排列的總數等於當第一個被認為是重復2個項目時的排列的數量。重復10次，第二次重復一次。 基本上這相當於以下列表：

Y E E E E E E E E E E 
E Y E E E E E E E E E
E E Y E E E E E E E E
..
E E E E E E E E E E Y

這與計算多項式（10,1）基本相同，即11（ http://www.wolframalpha.com/input/?i=multinomial%2810%2C+1%29 ）

總數是以下總和：

multinomial(12) + // there is no E-E link at all 
multinomial(12 - 2, 1) + // only one E-E link 
multinomial(12 - 4, 2) + // two E-E links
...
multinomial(12 - 12, 6)  // 6 E-E links

這是233（ http://www.wolframalpha.com/input/?i=multinomial%2812%29+%2B+multinomial%2810%2C+1%29+%2B+multinomial%288%2C+2%29 +％2B +多項％％286％2C + 3％29 +％2B +多項％％284％2C + 4％29 +％2B +多項％282％2C + 5％29 +％2B +多項％286％29 ）

通常情況下我會將此乘以2以說明結束鏈接的可能性，但實際上這可能會在某些情況下創建三個EEE鏈，這將打破您的問題。

另一方面，有一些算法可以為某些參數生成所有多項式組合，並且由於它們都是200，因此很容易生成所有這些，只需檢查哪些可以通過當時的循環鏈接進行擴展。