對於無符號長A和B，有沒有辦法（A * B）mod M沒有溢出？

Question

我不想在Windows上安裝GMP的噩夢。

我有兩個數字A和B， unsigned long long s，大約10 ^ 10左右，但即使做((A%M)*(B%M))%M ，我得到整數溢出。

是否有自制函數用於計算較大數字的(A*B)%M ？

Answer 1

如果模數M遠小於ULLONG_MAX （如果它在10 ^ 10的范圍內就是這種情況），則可以通過將兩個因子中的一個分成兩部分來分三步完成。 我假設A < M且B < M ，且M < 2^42 。

// split A into to parts
unsigned long long a1 = (A >> 21), a2 = A & ((1ull << 21) - 1);
unsigned long long temp = (a1 * B) % M;   // doesn't overflow under the assumptions
temp = (temp << 21) % M;                  // this neither
temp += (a2*B) % M;                       // nor this
return temp % M;

對於較大的值，您可以將因子分成三個部分，但如果模數真的接近ULLONG_MAX則變得難看。