動態編程最佳找零

Question

我一直在審查一些動態編程問題，並且在尋找最小數量的硬幣來進行更改方面，我一直費時費力。

假設我們有價值分別為25、10和1的硬幣，我們將零錢更改為30。貪婪將返回25和5（1），而最優解將返回3（10）。 這是本書中有關此問題的代碼：

def dpMakeChange(coinValueList,change,minCoins):
   for cents in range(change+1):
      coinCount = cents
      for j in [c for c in coinValueList if c <= cents]:
            if minCoins[cents-j] + 1 < coinCount:
               coinCount = minCoins[cents-j]+1
      minCoins[cents] = coinCount
   return minCoins[change]

如果有人可以幫助我解決這段代碼（我開始感到困惑的第4行），那將很棒。 謝謝！

Answer 1

在我看來，代碼正在解決每個美分值直到目標美分值的問題。 給定目標值v和一組硬幣C ，您知道最優硬幣選擇S的形式必須為union(S', c) ，其中c是來自C某種硬幣，而S'是v - value(c)的最優解v - value(c) （不好意思）。 因此，該問題具有最佳子結構 。 動態編程方法是解決所有可能的子問題。 它需要幾分cents * size(C)步長，而如果您只是嘗試強行使用直接解決方案，則該過程會更快地崩潰。

def dpMakeChange(coinValueList,change,minCoins):
   # Solve the problem for each number of cents less than the target
   for cents in range(change+1):

      # At worst, it takes all pennies, so make that the base solution
      coinCount = cents

      # Try all coin values less than the current number of cents
      for j in [c for c in coinValueList if c <= cents]:

            # See if a solution to current number of cents minus the value
            # of the current coin, with one more coin added is the best 
            # solution so far  
            if minCoins[cents-j] + 1 < coinCount:
               coinCount = minCoins[cents-j]+1

      # Memoize the solution for the current number of cents
      minCoins[cents] = coinCount

   # By the time we're here, we've built the solution to the overall problem, 
   # so return it
   return minCoins[change]

Answer 2

如果您熟悉圖論，這是一種思考硬幣更改問題的方法，該問題可能會有用。

假設您具有通過以下方式定義的圖形：

• 從0到您感興趣的價值（例如39美分或其他）之間的每一單位貨幣（例如幾美分）都有一個節點。
• 任意兩個節點之間都有一條弧線，該弧線之間正好是您允許使用的硬幣的幣值分隔開的（例如，如果您允許使用鎳幣，則該節點之間的弧度在34美分和29美分之間）。

現在，您可以將硬幣兌換問題視為從您的關注價值降至零的最短路徑問題，因為硬幣數量將與路徑中的弧形數量完全相同。

該算法不使用圖論術語，但基本上是在做同樣的事情：外環遍及所有“分”（或圖論框架中的節點），而內環遍及所有“分”。從當前弧到下一個弧的弧（coinValueList中的值）。 總之，他們正在尋找從零到您感興趣的價值的最短路徑。 （將值減小到零，將值減小到零是無關緊要的。不過，傳統上我們會向下搜索到零。）

當我意識到可以將許多問題轉換為圖形問題時，我才真正開始理解動態編程。 （但是請注意，並非所有人都可以。有些是超圖，有些甚至還沒有。但是這對我很有幫助。）

Answer 3

我認為第四行令人困惑，因為雖然Python可以在列表理解中選擇/過濾(transform(x) for x in iterable if condition(x)) ，則(transform(x) for x in iterable if condition(x)) ，但for x in iterable:表達式中的for x in iterable:它的標准不能做到相同。

因此，人們繞過的一種（俗氣的imo）方法是將兩者焊接在一起。 他們創建了一個列表c for c in coinValueList ，實際上並沒有進行任何轉換（因此c for c in coinValueList的c for c in coinValueList ）只是為了在它們上添加if c <= cents子句。 然后將其用作for x in iterable:表達式中for x in iterable:的標准for x in iterable: 。 我懷疑那是您一些困惑的來源。

編寫該行的另一種方法可能是：

...
for eachCoinValue in filter(lambda x: x <= cents, coinValueList):
...

甚至更清楚地講，使用“意圖揭示變量”將是：

...
smallEnoughCoins = filter(lambda each: each <= cents)
for each in smallEnoughCoins:
    ...