动态编程最佳找零

Question

我一直在审查一些动态编程问题，并且在寻找最小数量的硬币来进行更改方面，我一直费时费力。

假设我们有价值分别为25、10和1的硬币，我们将零钱更改为30。贪婪将返回25和5（1），而最优解将返回3（10）。 这是本书中有关此问题的代码：

def dpMakeChange(coinValueList,change,minCoins):
   for cents in range(change+1):
      coinCount = cents
      for j in [c for c in coinValueList if c <= cents]:
            if minCoins[cents-j] + 1 < coinCount:
               coinCount = minCoins[cents-j]+1
      minCoins[cents] = coinCount
   return minCoins[change]

如果有人可以帮助我解决这段代码（我开始感到困惑的第4行），那将很棒。 谢谢！

Answer 1

在我看来，代码正在解决每个美分值直到目标美分值的问题。 给定目标值v和一组硬币C ，您知道最优硬币选择S的形式必须为union(S', c) ，其中c是来自C某种硬币，而S'是v - value(c)的最优解v - value(c) （不好意思）。 因此，该问题具有最佳子结构 。 动态编程方法是解决所有可能的子问题。 它需要几分cents * size(C)步长，而如果您只是尝试强行使用直接解决方案，则该过程会更快地崩溃。

def dpMakeChange(coinValueList,change,minCoins):
   # Solve the problem for each number of cents less than the target
   for cents in range(change+1):

      # At worst, it takes all pennies, so make that the base solution
      coinCount = cents

      # Try all coin values less than the current number of cents
      for j in [c for c in coinValueList if c <= cents]:

            # See if a solution to current number of cents minus the value
            # of the current coin, with one more coin added is the best 
            # solution so far  
            if minCoins[cents-j] + 1 < coinCount:
               coinCount = minCoins[cents-j]+1

      # Memoize the solution for the current number of cents
      minCoins[cents] = coinCount

   # By the time we're here, we've built the solution to the overall problem, 
   # so return it
   return minCoins[change]

Answer 2

如果您熟悉图论，这是一种思考硬币更改问题的方法，该问题可能会有用。

假设您具有通过以下方式定义的图形：

• 从0到您感兴趣的价值（例如39美分或其他）之间的每一单位货币（例如几美分）都有一个节点。
• 任意两个节点之间都有一条弧线，该弧线之间正好是您允许使用的硬币的币值分隔开的（例如，如果您允许使用镍币，则该节点之间的弧度在34美分和29美分之间）。

现在，您可以将硬币兑换问题视为从您的关注价值降至零的最短路径问题，因为硬币数量将与路径中的弧形数量完全相同。

该算法不使用图论术语，但基本上是在做同样的事情：外环遍及所有“分”（或图论框架中的节点），而内环遍及所有“分”。从当前弧到下一个弧的弧（coinValueList中的值）。 总之，他们正在寻找从零到您感兴趣的价值的最短路径。 （将值减小到零，将值减小到零是无关紧要的。不过，传统上我们会向下搜索到零。）

当我意识到可以将许多问题转换为图形问题时，我才真正开始理解动态编程。 （但是请注意，并非所有人都可以。有些是超图，有些甚至还没有。但是这对我很有帮助。）

Answer 3

我认为第四行令人困惑，因为虽然Python可以在列表理解中选择/过滤(transform(x) for x in iterable if condition(x)) ，则(transform(x) for x in iterable if condition(x)) ，但for x in iterable:表达式中的for x in iterable:它的标准不能做到相同。

因此，人们绕过的一种（俗气的imo）方法是将两者焊接在一起。 他们创建了一个列表c for c in coinValueList ，实际上并没有进行任何转换（因此c for c in coinValueList的c for c in coinValueList ）只是为了在它们上添加if c <= cents子句。 然后将其用作for x in iterable:表达式中for x in iterable:的标准for x in iterable: 。 我怀疑那是您一些困惑的来源。

编写该行的另一种方法可能是：

...
for eachCoinValue in filter(lambda x: x <= cents, coinValueList):
...

甚至更清楚地讲，使用“意图揭示变量”将是：

...
smallEnoughCoins = filter(lambda each: each <= cents)
for each in smallEnoughCoins:
    ...