是否有可能開發一種解決圖形同構的算法？

Question

還是我需要為每個唯一的圖形開發一種算法？ 為用戶提供了一種圖形，然后應該使用界面將節點和邊添加到初始圖形。 然后，他們提交圖形，並假定算法確認用戶圖形是否與給定圖形匹配。

該算法不僅需要確認每個節點的鄰居，還需要確認每個節點和每個邊具有正確的值。 初始圖將始終具有根節點，這是算法可從其開始的地方。

我想知道我是否可以在一般意義上為這種算法開發邏輯，還是我需要為每個唯一的圖實際編碼一個唯一的算法。 如果是后一種情況，這沒什么大不了的，因為我只有大約20個唯一的圖。

謝謝。 我希望我很清楚。

Answer 1

圖同構問題可能並不難。 但是很難證明這個問題並不難。

此問題有三種可能性。
1.圖同構問題是NP-hard的 。
2.圖同構問題具有多項式時間解。
3.圖同構問題既不是NP-hard也不是P。

如果兩個圖是同構的，則該同構存在一個排列。 以這個排列為證，我們可以證明這兩個圖在多項式時間內是同構的。 因此，圖同構位於NP集的范圍內。 但是，已經有30多年沒有人能夠證明這個問題是NP難題還是P難題了。因此，盡管對問題進行了簡單的描述，但從本質上講，這個問題卻很難解決。

Answer 2

如果我正確理解了這個問題，則可以使用一個單一算法，該算法將接受多個參考圖之一作為其輸入（除了要聲明與參考圖同構的未知圖的輸入之外）。

看來，你在尋求獲得一個給定的圖是否是完全相同的另一個圖，而不是如果圖形相對於一組特定的操作或特性的同構斷言。 這意味着向該算法提供了一些特定的參考圖，而不是根據某些“抽象”規則（例如，兩個圖是否都沒有循環，還是兩個圖都已完全連接等）進行工作，即使這些圖可能以其他方式有所不同。

確認后， 編輯 ：
是的，將為該算法提供一個參考圖（即答案），然后將檢查用戶圖以查看該參考圖是否同構（包括邊和節點的值）

在那種情況下， 是的，很有可能開發出一個相對簡單的算法來斷言這兩個圖的同構。 請注意，其他評論和答案中提到的考慮因素以及與問題可能是NP-Hard的事實有關，僅表示簡單的算法（或任何與此問題有關的算法）可能不足以合理數量地解決問題。大小和復雜度太大的圖的時間 。 但是，假設圖相對較小，並且利用了邊緣和節點的權重也需要匹配的要求（！），通常應采用以下算法。

總體思路 ：
對於與圖的其余部分斷開連接的每個子圖，在用戶圖中標識一個（或可能幾個）節點，這些節點必須與參考圖的特定節點匹配。 通過遵循來自該節點的路徑（以一種有序的方式，請參見下文中的更多內容），聲明其他節點的身份和/或確定存在一些無法匹配的節點（因此這兩個結構不是同構的）。

粗糙的 偽代碼 ：
1.對於參考圖和用戶提供的圖，請列出其 連接組件的列表，即其中與圖的其余部分斷開連接的子圖的列表。 通過從給定節點開始遵循廣度優先或深度優先的路徑，並使用任意[通常為增量]元素ID號“標記”該路徑上的所有節點，可以找到這些連接的組件。 一旦完全訪問了給定的路徑，請從任何其他未標記的節點重復該操作，直到沒有其他未標記的節點為止。

2.建立每個圖的特征的“數據庫” 。 這將有助於識別匹配的候選者，並在早期確定非同構實例。 每個“數據庫”將具有兩種“記錄”：節點和邊緣，分別具有以下字段：-node_id，Connected_element_Id，節點權重，輸出邊緣數，輸入邊緣數，輸出邊緣權重之和，傳入邊的權重。 節點-edge_id，Connected_element_Id，邊緣權重，node_id_of_start，node_id_of_end，weight_of_start_node，weight_of_end_node

3.建立每個圖的連接元素的數據庫
每個記錄應具有以下字段：Connected_element_id，節點數，邊數，節點權重之和，邊權重之和。

4. [可選地] 分發非同構的簡單情況 ：
4.連接的元素數量不匹配
4.b連接元素的數量不匹配，按除ID外的所有字段分組（節點數，邊數，節點權重之和，邊權重之和）

5.對於參考圖中的每個連接的元素
5.1在用戶提供的圖中標識匹配的連接元素的候選項。 候選對象必須具有相同的連接元素特征（節點數，邊數，節點權重之和，邊權重之和 ）， 並且包含相同的節點和邊列表，同樣，除ID外，還按所有特征分組。
5.2對於每個候選對象，最后確定其確認為相對於參考圖中相應連接元素的同構圖。 這是通過從候選節點匹配開始的，即希望是唯一的，在兩個圖上具有完全相同特征的節點開始。 如果沒有這樣的節點，則需要取消每個可能的候選者的資格，直到可以確認同構（或耗盡所有候選者）。 對於候選節點匹配，根據邊的方向和權重以及節點的權重，首先遍歷圖，然后查找其他節點的匹配項。

該算法的主要技巧是保持對候選對象的正確計算（無論候選連接元素是較高級別的候選元素還是較低級別的候選節點），並且還應記住並標記其他已標識的項目（如果未標記則將其取消標記）某種程度上，假設的候選人最終被證明是不可行的。）

我意識到以上內容沒有正式的算法描述，但是您應該決定要實現什么，以及可能的起點。

您可以指出，匹配節點和邊緣權重的要求似乎是斷言同構的另一個困難 ，由於底層的節點/邊緣特性使它們更具獨特性，因此有效簡化了算法，從而使算法更有可能a）查找唯一的節點候選者，並且b）快速找到路徑上的其他候選者和/或快速斷言非同構。