如何在圖形中找到3條邊的負加權循環？

Question

我有一個有大約10,000個節點的有向圖。 所有邊都是加權的。 我想找到一個只包含3個邊的負循環。 有沒有比O（n ^ 3）更快的算法？

示例代碼：（g是我的圖表）

if (DETAILS) std::printf  ("Calculating cycle of length 3.\n");
for (int i=0;i<NObjects;i++)
{
    for (int j=i+1;j<NObjects;j++)
    {
        for (int k=j+1;k<NObjects;k++)
        {
            if ((d= g[i][j]+g[j][k]+g[k][i])<0)
            {
                results[count][0] = i;
                results[count][1] = j;
                results[count][2] = k;
                results[count][3] = d;
                count++;
                if (count>=MAX_OUTPUT_SIZE3)
                    goto finish3;
            }

            if ((d= g[i][k]+g[k][j]+g[j][i])<0)
            {
                results[count][0] = j;
                results[count][1] = i;
                results[count][2] = k;
                results[count][3] = d;
                count++;
                if (count>=MAX_OUTPUT_SIZE3)
                    goto finish3;
            }
        }

    }
}
finish3:

Answer 1

我想不出任何具有低於O（n ³ ）的明確復雜度的算法，但是常數因子在實踐中也很重要。 以下算法允許修剪以加速找到具有負權重總和的長度為3的循環 - 或者檢查沒有這樣的循環。

1. 根據它們的重量對（定向）邊緣進行排序
2. 以最低權重作為起始邊緣。
3. 嘗試連接到起始邊緣的末端頂點的所有邊緣的重量不低於起始邊緣（第一次修剪），並在關閉循環時檢查重量的總和。 如果你找到一個帶負數的周期，你就完成了。
4. 繼續使用具有下一個最低權重的邊緣作為起始邊緣。 如果它的重量是負的轉到3 - 否則你就完成了（第二次修剪）

該想法是具有負和的圓柱體的至少一個邊緣必須具有負權重。 並且我們可以在循環中以最低權重開始循環。

如果你知道負權重的數字邊是O（n），那么這個算法將是O（n ² ld n），因為算法將由步驟1支配（=根據權重對邊緣進行排序）。