最佳拟合矩形的算法

Question

我正在寻找一种算法，以使任意矩形最适合无序点集。 具体来说，我正在寻找一个矩形，该矩形的点到任一矩形边缘的距离之和最小。 我发现很多最佳拟合线，圆和椭圆算法，但没有一个适合矩形。 理想情况下，我想要用C，C ++或Java编写的东西，但对语言的要求并不高。

输入数据通常将由位于矩形上或矩形附近的大多数点组成，并且具有一些异常值。 数据的分布将是不均匀的，不可能包含所有四个角。

Answer 1

以下是一些可能对您有所帮助的想法。

我们可以估计一个点是在边上还是在拐角上，如下所示：

1. 收集点的n个近邻
2. 计算点的质心
3. 计算点的协方差矩阵，如下所示：
   1. 以Covariance = ((0, 0), (0, 0))开头
   2. 对于每个点，计算d = point - centroid
   3. Covariance += outer_product(d, d)
4. 计算协方差的特征值。 （例如，使用SVD）
5. 分类点：
   • 如果一个特征值很大而另一个特征值很小，那么我们可能处于边缘
   • 否则我们应该在一个角落

提取所有角点并进行分割。 选择条目最多的四个细分。 这些线段的质心是矩形角的候选对象。

计算两个相对侧的归一化方向向量，并计算其平均值。 计算另外两个相对边的平均值。 这些是平行四边形的方向向量。 如果需要矩形，请计算与这些方向之一垂直的向量，并与另一个方向向量计算平均值。 那么矩形的方向是均值向量和垂直向量。

为了计算拐角，可以将候选对象投影到其方向上并移动它们，以使它们形成矩形的拐角。

Answer 2

这是一个总体思路。 用小格做成网格； 计算每个非太空单元格的最佳拟合线（计算为立即数¹ ，不涉及搜索）。 加入相邻的单元格，同时确保标准偏差正在改善/不会明显恶化。 因此，我们检测到四个边和四个角，并将我们的点划分为四个组，每个组属于四个边之一。

接下来，我们丢弃角单元，将真实的矩形替换为四个近似线，然后进行一些爬坡（或其他操作）。 在这种情况下，可能会增加最佳拟合线的计算，因为这两条线是平行的，并且我们已经将点分为四个组（对于给定的矩形，我们知道两个相对侧之间的增量y（因此，我们只需将此增量-y与较低的一组点的y相加即可进行计算）。

最初的矩形网格可以用条纹（例如，垂直）加工代替。 然后，至少一半的条纹将具有两个明显的点分组（通过将每个条纹按水平分割线划分为像元来查找它们）。

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¹对于线Y = a*X+b ，最小化数据点{x _i ，y _i }到该线的垂直距离的平方和。 对于a和b可直接解决。 要获得更多垂直线，请翻转Xs和Ys。

PS I将问题解释为最大程度地减少了每个点到矩形最近侧 （而不是矩形所有侧）的垂直距离的平方和。

Answer 3

最佳拟合线的想法是计算点与线y = ax + b之间的垂直距离。 然后，您可以使用微积分找到a和b的值，以最小化距离平方和。 之所以选择平方而不是绝对值，是因为前者在0时可微。

如果要对矩形尝试相同的方法，则会遇到一个问题，即到矩形边的距离的平方是由8个不同块组成的分段定义函数，当这些块在内部相交时是不可微的长方形。

为了继续进行下去，您需要确定一个函数，该函数测量点与到处都是可微分的矩形的距离。

Answer 4

我不确定，但是从您的角度来看，您可能会在PCA的前2（3？）个维度上玩游戏。 在大多数情况下，它将运行得相当快。