如何生成将对序列进行代数编码的函数？

Question

有什么方法可以生成给定序列的函数F，例如：

seq = [1 2 4 3 0 5 4 2 6]

然后F（seq）将返回生成该序列的函数？ 那是，

F(seq)(0) = 1
F(seq)(1) = 2
F(seq)(2) = 4
... and so on

另外，如果是，那么最低复杂度的函数是什么？生成的函数的复杂性是什么？

编辑似乎我不清楚，所以我将尝试举例说明：

F(seq([1 3 5 7 9])} 
# returns something like:
F(x) = 1 + 2*x
# limited to the domain x ∈ [1 2 3 4 5]

换句话说，我想使用+，*等数学函数计算一个可用于代数的函数，即使从内存中清除了整数序列，也要还原它 。 我不知道是否可能，但是，由于对于平凡的情况，可以很容易地为这种函数编写一个近似值，因此我想知道它能走多远，是否有对此的一些实际研究。

编辑2回答另一个问题，我只对整数序列感兴趣-如果那很重要。

如果还不清楚，请告诉我！

Answer 1

好吧，如果您只是想知道带有“ +和*”的函数，也就是说是一个多项式，则可以查看Wikipedia中的Lagrange多项式（ https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial ）。 它为您提供了编码序列的最低次多项式。

毫无疑问，您可能将无法存储比以前更少的存储量，因为多项式的概率为d = n-1，其中n是随机整数，数组的大小非常高。 此外，您将必须存储有理数而不是整数。 最后，与使用数组的O（1）相比，访问任意数量的数组都将在O（d）中（使用Horner算法进行多项式求值）。

但是，如果您知道序列可能非常简单且很长，则可以选择。

Answer 2

如果序列来自度数较低的多项式，则使用牛顿级数查找生成该序列的唯一多项式的简单方法。 为一个数字构造多项式具有O（n²）时间复杂度，而对其求值则具有O（n）。

在牛顿级数中，多项式用x，x（x-1），x（x-1）（x-2）等表示，而不是更熟悉的x，x²，x³。 要获得系数，基本上，您需要计算序列中后续项之间的差，然后计算差之间的差，直到只剩下一个或得到全零的序列为止。 沿着底部得到的数字除以项的阶乘可得出系数。 例如，在第一个序列中，您会得到以下差异：

1  2  4  3  0  5   4   2    6
   1  2 -1 -3  5  -1  -2    4 
      1 -3 -2  8  -6  -1    6
        -4  1 10 -14   5    7
            5  9 -24  19    2
               4 -33  43  -17
                 -37  76  -60
                     113 -136
                         -249

因此，生成此序列的多项式为：

f(x) = 1 + x(1 + (x-1)(1/2 + (x-2)(-4/6 + (x-3)(5/24 + (x-4)(4/120 
         + (x-5)(-37/720 + (x-6)(113/5040 + (x-7)(-249/40320))))))))

与使用其他技术（例如Lagrange插值）获得的多项式相同。 这是生成它的最简单方法，因为您可以获得可以用Horner方法求值的多项式形式的系数，这与例如Lagrange形式不同。

Answer 3

如果您说序列可能是完全随机的，那是没有魔术的。 但是，它始终是可能的，但不会节省您的内存。 在最坏的情况下，任何插值方法都需要相同数量的内存。 因为，如果没有，则有可能将所有内容压缩到单个位。

另一方面，有时可以使用蛮力，某些启发式方法（如遗传算法 ）或数值方法来重现具有指定类型的某种数学表达式，但是祝您好运:)

只需使用一些存档工具即可，以节省内存使用量。

我认为这对您有所帮助： http : //en.wikipedia.org/wiki/Entropy_(information_theory）