Strassen的算法证明

Question

我一直在阅读有关矩阵乘法的Strassen算法。

正如Cormen的算法简介中所提到的，算法并不直观。 但是我很想知道算法是否存在严格的数学证明，以及算法的设计实际上是什么。

我尝试在Google和stackoverflow上搜索，但所有链接仅仅是在比较Strassen的标准矩阵乘法方法，或者他们详细说明了算法提供的过程。

Answer 1

你应该去源材料。 在这种情况下，Strassen的原始论文：

Strassen，Volker，Gaussian Elimination不是最优的，Numer。 数学。 13，p。 354-356,1969

http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02165411?LI=true

虽然我自己没有阅读过，但我认为有一个严格的讨论和证明算法的复杂性。

看起来斯特拉森教授仍然活跃（ http://en.wikipedia.org/wiki/Volker_Strassen ）并有一个主页（ http://www.math.uni-konstanz.de/~strassen/ ）。 如果在尽可能多地学习算法之后，你仍然有兴趣学习更多知识，我不认为向教授发送一封措辞谨慎的电子邮件是不可能的。

遗憾的是，尽管这项工作是在公立大学（加州大学伯克利分校）使用联邦基金（NSF资助）完成的，但似乎没有免费的在线论文，但这是一个完全独立的问题我们不应该'在这里讨论。

如果您是学生，您可能可以通过学校访问，或者至少您的学校可以免费为您提供一份副本。 祝好运。

Answer 2

斯特拉森算法应该存在的证据是一个简单的维度计数（结合了天真维度计数给出正确答案的证据）。 考虑所有双线性映射的向量空间$C^n\\times C^n \\rightarrow C^n$ ，这是维数$n^3$的向量空间（在矩阵乘法的情况下，我们有$n=m^2$ ，例如$n=4$ $2\\times 2$ case）。 一级的双线性映射集合，即仅使用一个标量乘法的算法中可计算的那些，具有维度$3(n-1)+1$并且最多$r$等级的双线性映射集合具有最小值的维度对于$n,r$大多数值， $r[3(n-1)]+r$和$n^3$ $n,r$ （当$r=7,n=4$时，可以检查这是否正确。 任何双线性映射$C^4\\times C^4\\rightarrow C^4$ ，以概率1具有至多秩$7$ ，并且可以总是在最近似于由秩双线性映射任意精度$7$ 。