解决CUDA中的三对角线性系统问题

Question

我正在尝试在我的GTS450上实现基于Cyclic Reduction方法的三对角系统求解器。

本文阐述了循环减少

Y. Zhang，J。Cohen，JD Owens，“GPU上的快速三对角解算器”

但是，无论我做什么，我的CUDA代码都比顺序代码快得多。 我的总共512 x 512点的结果是7ms ，但是在我的i7 3.4GHz上它是5 5ms 。 GPU没有加速！

哪个可能是问题？

#include "cutrid.cuh"
 __global__ void cutrid_RC_1b(double *a,double *b,double *c,double *d,double *x)
{
 int idx_global=blockIdx.x*blockDim.x+threadIdx.x;
 int idx=threadIdx.x;

 __shared__ double asub[512];
 __shared__ double bsub[512];
 __shared__ double csub[512];
 __shared__ double dsub[512];

 double at=0;
 double bt=0;
 double ct=0;
 double dt=0;

 asub[idx]=a[idx_global];
 bsub[idx]=b[idx_global];
 csub[idx]=c[idx_global];
 dsub[idx]=d[idx_global];


 for(int stride=1;stride<N;stride*=2)
  {
    int margin_left,margin_right;
    margin_left=idx-stride;
    margin_right=idx+stride;


    at=(margin_left>=0)?(-csub[idx-stride]*asub[idx]/bsub[idx-stride]):0.f; 

    bt=bsub[idx]+((margin_left>=0)?(-csub[idx-stride]*asub[idx]/bsub[idx-stride]):0.f)
    -((margin_right<512)?asub[idx+stride]*csub[idx]/bsub[idx+stride]:0.f); 

    ct=(margin_right<512)?(-csub[idx+stride]*asub[idx]/bsub[idx+stride]):0.f; 

    dt=dsub[idx]+((margin_left>=0)?(-dsub[idx-stride]*asub[idx]/bsub[idx-stride]):0.f)
    -((margin_right<512)?dsub[idx+stride]*csub[idx]/bsub[idx+stride]:0.f); 

    __syncthreads();
    asub[idx]=at;
    bsub[idx]=bt;
    csub[idx]=ct;
    dsub[idx]=dt;
    __syncthreads();
  }


x[idx_global]=dsub[idx]/bsub[idx];

}/*}}}*/

我通过cutrid_RC_1b<<<512,512>>>(d_a,d_b,d_c,d_d,d_x)启动了这个内核，并达到了100%设备占用率。 这个结果让我困惑了好几天。

我的代码有一个改进版本：

    #include "cutrid.cuh"
    __global__ void cutrid_RC_1b(float *a,float *b,float *c,float *d,float *x)
    {/*{{{*/
     int idx_global=blockIdx.x*blockDim.x+threadIdx.x;
     int idx=threadIdx.x;

     __shared__ float asub[512];
     __shared__ float bsub[512];
     __shared__ float csub[512];
     __shared__ float dsub[512];

    asub[idx]=a[idx_global];
    bsub[idx]=b[idx_global];
    csub[idx]=c[idx_global];
    dsub[idx]=d[idx_global];
 __syncthreads();
   //Reduction  
    for(int stride=1;stride<512;stride*=2)
    {
        int margin_left=(idx-stride);
        int margin_right=(idx+stride);
        if(margin_left<0) margin_left=0;
        if(margin_right>=512) margin_right=511;
        float tmp1 = asub[idx] / bsub[margin_left];
        float tmp2 = csub[idx] / bsub[margin_right];
        float tmp3 = dsub[margin_right];
        float tmp4 = dsub[margin_left];
        __syncthreads();

        dsub[idx] = dsub[idx] - tmp4*tmp1-tmp3*tmp2;
        bsub[idx] = bsub[idx]-csub[margin_left]*tmp1-asub[margin_right]*tmp2;

        tmp3 = -csub[margin_right]; 
        tmp4 = -asub[margin_left];

        __syncthreads();
        asub[idx] = tmp3*tmp1;
        csub[idx] = tmp4*tmp2;
        __syncthreads();
     }

        x[idx_global]=dsub[idx]/bsub[idx];

    }/*}}}*/

对于512 x 512系统， Quadro k4000的速度提升至0.73ms ，但上述文章中的代码在GTX280上以0.5ms速度运行。

Answer 1

解决三对角方程系统是一个具有挑战性的并行问题，因为经典解决方案，即高斯消元，本质上是连续的。

循环减少包括两个阶段：

1. 前进减少 。 原始系统分为两个独立的三对角系统，用于两组未知数，即奇数索引和偶数索引。 这样的系统可以独立解决，这一步骤可以看作是分裂和阻抗方案中的第一个。 两个较小的系统在两个子系统中以相同的方式再次分开，并且重复该过程直到达到仅有2方程的系统。
2. 向后替代 。 首先求解2方程的系统。 然后，通过在不同的核心上独立地求解子系统来攀爬分裂和阻抗结构。

我不确定（但如果我错了，请纠正我）你的代码会返回一致的结果。 N似乎没有定义。 此外，您正在访问csub[idx-stride] ，但我不确定当idx==0和stride>1时它是什么意思。 此外，您使用了几个条件语句，主要用于边界检查。 最后，你的代码缺乏一个能够处理上面提到的divide et impera方案的正确的线程结构，概念上非常类似于CUDA SDK减少样本中使用的那个。

正如我在上面的一条评论中所提到的，我记得在tridiagonalsolvers中你可以找到一个循环减少方案的实现来解决三对角方程系统。 浏览相关的谷歌页面，在我看来，代码是由上述论文的第一作者（姚章）保留的。 代码将被复制并粘贴到下面。 请注意，边界检查仅执行一次（ if (iRight >= systemSize) iRight = systemSize - 1; ），从而限制了所涉及的条件语句的数量。 还要注意能够处理除法和求解方案的线程结构。

张，科恩和欧文斯的代码

__global__ void crKernel(T *d_a, T *d_b, T *d_c, T *d_d, T *d_x)
{
   int thid = threadIdx.x;
   int blid = blockIdx.x;

   int stride = 1;

   int numThreads = blockDim.x;
   const unsigned int systemSize = blockDim.x * 2;

   int iteration = (int)log2(T(systemSize/2));
   #ifdef GPU_PRINTF 
    if (thid == 0 && blid == 0) printf("iteration = %d\n", iteration);
   #endif

   __syncthreads();

   extern __shared__ char shared[];

   T* a = (T*)shared;
   T* b = (T*)&a[systemSize];
   T* c = (T*)&b[systemSize];
   T* d = (T*)&c[systemSize];
   T* x = (T*)&d[systemSize];

   a[thid] = d_a[thid + blid * systemSize];
   a[thid + blockDim.x] = d_a[thid + blockDim.x + blid * systemSize];

   b[thid] = d_b[thid + blid * systemSize];
   b[thid + blockDim.x] = d_b[thid + blockDim.x + blid * systemSize];

   c[thid] = d_c[thid + blid * systemSize];
   c[thid + blockDim.x] = d_c[thid + blockDim.x + blid * systemSize];

   d[thid] = d_d[thid + blid * systemSize];
   d[thid + blockDim.x] = d_d[thid + blockDim.x + blid * systemSize];

   __syncthreads();

   //forward elimination
   for (int j = 0; j <iteration; j++)
   {
       __syncthreads();
       stride *= 2;
       int delta = stride/2;

    if (threadIdx.x < numThreads)
    {
        int i = stride * threadIdx.x + stride - 1;
        int iLeft = i - delta;
        int iRight = i + delta;
        if (iRight >= systemSize) iRight = systemSize - 1;
        T tmp1 = a[i] / b[iLeft];
        T tmp2 = c[i] / b[iRight];
        b[i] = b[i] - c[iLeft] * tmp1 - a[iRight] * tmp2;
        d[i] = d[i] - d[iLeft] * tmp1 - d[iRight] * tmp2;
        a[i] = -a[iLeft] * tmp1;
        c[i] = -c[iRight] * tmp2;
    }
       numThreads /= 2;
   }

   if (thid < 2)
   {
     int addr1 = stride - 1;
     int addr2 = 2 * stride - 1;
     T tmp3 = b[addr2]*b[addr1]-c[addr1]*a[addr2];
     x[addr1] = (b[addr2]*d[addr1]-c[addr1]*d[addr2])/tmp3;
     x[addr2] = (d[addr2]*b[addr1]-d[addr1]*a[addr2])/tmp3;
   }

   // backward substitution
   numThreads = 2;
   for (int j = 0; j <iteration; j++)
   {
       int delta = stride/2;
       __syncthreads();
       if (thid < numThreads)
       {
           int i = stride * thid + stride/2 - 1;
           if(i == delta - 1)
                 x[i] = (d[i] - c[i]*x[i+delta])/b[i];
           else
                 x[i] = (d[i] - a[i]*x[i-delta] - c[i]*x[i+delta])/b[i];
        }
        stride /= 2;
        numThreads *= 2;
     }

   __syncthreads();

   d_x[thid + blid * systemSize] = x[thid];
   d_x[thid + blockDim.x + blid * systemSize] = x[thid + blockDim.x];

}

Answer 2

我想补充一点，提一下cuSPARSE系统可以通过函数帮助在cuSPARSE库的框架中轻松解决

cusparse<t>gtsv()

cuSPARSE还提供

cusparse<t>gtsv_nopivot()

与第一个提到的例程不一致的是，它不执行旋转。 上述两种功能都解决了具有多个右侧的相同线性系统。 一个批量的例程

cusparse<t>gtsvStridedBatch()

也存在解决多个线性系统的问题。

对于所有上述例程，通过简单地指定下对角线，主对角线和上对角线来固定系统矩阵。

下面，我将使用cusparse<t>gtsv()报告一个完全解决的例子来解决三对角线性系统。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
#include <assert.h>

#include <cuda_runtime.h>
#include <cusparse_v2.h>

/********************/
/* CUDA ERROR CHECK */
/********************/
// --- Credit to http://stackoverflow.com/questions/14038589/what-is-the-canonical-way-to-check-for-errors-using-the-cuda-runtime-api
void gpuAssert(cudaError_t code, char *file, int line, bool abort=true)
{
   if (code != cudaSuccess)
   {
      fprintf(stderr,"GPUassert: %s %s %d\n", cudaGetErrorString(code), file, line);
      if (abort) { exit(code); }
   }
}

extern "C" void gpuErrchk(cudaError_t ans) { gpuAssert((ans), __FILE__, __LINE__); }

/***************************/
/* CUSPARSE ERROR CHECKING */
/***************************/
static const char *_cusparseGetErrorEnum(cusparseStatus_t error)
{
    switch (error)
    {

        case CUSPARSE_STATUS_SUCCESS:
            return "CUSPARSE_STATUS_SUCCESS";

        case CUSPARSE_STATUS_NOT_INITIALIZED:
            return "CUSPARSE_STATUS_NOT_INITIALIZED";

        case CUSPARSE_STATUS_ALLOC_FAILED:
            return "CUSPARSE_STATUS_ALLOC_FAILED";

        case CUSPARSE_STATUS_INVALID_VALUE:
            return "CUSPARSE_STATUS_INVALID_VALUE";

        case CUSPARSE_STATUS_ARCH_MISMATCH:
            return "CUSPARSE_STATUS_ARCH_MISMATCH";

        case CUSPARSE_STATUS_MAPPING_ERROR:
            return "CUSPARSE_STATUS_MAPPING_ERROR";

        case CUSPARSE_STATUS_EXECUTION_FAILED:
            return "CUSPARSE_STATUS_EXECUTION_FAILED";

        case CUSPARSE_STATUS_INTERNAL_ERROR:
            return "CUSPARSE_STATUS_INTERNAL_ERROR";

        case CUSPARSE_STATUS_MATRIX_TYPE_NOT_SUPPORTED:
            return "CUSPARSE_STATUS_MATRIX_TYPE_NOT_SUPPORTED";

        case CUSPARSE_STATUS_ZERO_PIVOT:
            return "CUSPARSE_STATUS_ZERO_PIVOT";
    }

    return "<unknown>";
}

inline void __cusparseSafeCall(cusparseStatus_t err, const char *file, const int line)
{
    if(CUSPARSE_STATUS_SUCCESS != err) {
        fprintf(stderr, "CUSPARSE error in file '%s', line %Ndims\Nobjs %s\nerror %Ndims: %s\nterminating!\Nobjs",__FILE__, __LINE__,err, \
                                _cusparseGetErrorEnum(err)); \
        cudaDeviceReset(); assert(0); \
    }
}

extern "C" void cusparseSafeCall(cusparseStatus_t err) { __cusparseSafeCall(err, __FILE__, __LINE__); }

/********/
/* MAIN */
/********/
int main()
{
    // --- Initialize cuSPARSE
    cusparseHandle_t handle;    cusparseSafeCall(cusparseCreate(&handle));

    const int N     = 5;        // --- Size of the linear system

    // --- Lower diagonal, diagonal and upper diagonal of the system matrix
    double *h_ld = (double*)malloc(N * sizeof(double));
    double *h_d  = (double*)malloc(N * sizeof(double));
    double *h_ud = (double*)malloc(N * sizeof(double));

    h_ld[0]     = 0.;
    h_ud[N-1]   = 0.;
    for (int k = 0; k < N - 1; k++) {
        h_ld[k + 1] = -1.;
        h_ud[k]     = -1.;
    }

    for (int k = 0; k < N; k++) h_d[k] = 2.;

    double *d_ld;   gpuErrchk(cudaMalloc(&d_ld, N * sizeof(double)));
    double *d_d;    gpuErrchk(cudaMalloc(&d_d,  N * sizeof(double)));
    double *d_ud;   gpuErrchk(cudaMalloc(&d_ud, N * sizeof(double)));

    gpuErrchk(cudaMemcpy(d_ld, h_ld, N * sizeof(double), cudaMemcpyHostToDevice));
    gpuErrchk(cudaMemcpy(d_d,  h_d,  N * sizeof(double), cudaMemcpyHostToDevice));
    gpuErrchk(cudaMemcpy(d_ud, h_ud, N * sizeof(double), cudaMemcpyHostToDevice));

    // --- Allocating and defining dense host and device data vectors
    double *h_x = (double *)malloc(N * sizeof(double)); 
    h_x[0] = 100.0;  h_x[1] = 200.0; h_x[2] = 400.0; h_x[3] = 500.0; h_x[4] = 300.0;

    double *d_x;        gpuErrchk(cudaMalloc(&d_x, N * sizeof(double)));   
    gpuErrchk(cudaMemcpy(d_x, h_x, N * sizeof(double), cudaMemcpyHostToDevice));

    // --- Allocating the host and device side result vector
    double *h_y = (double *)malloc(N * sizeof(double)); 
    double *d_y;        gpuErrchk(cudaMalloc(&d_y, N * sizeof(double))); 

    cusparseSafeCall(cusparseDgtsv(handle, N, 1, d_ld, d_d, d_ud, d_x, N));

    cudaMemcpy(h_x, d_x, N * sizeof(double), cudaMemcpyDeviceToHost);
    for (int k=0; k<N; k++) printf("%f\n", h_x[k]);
}

在这个gitHub存储库中 ，报告了cuSOLVER库中可用于三对角线性系统解决方案的不同CUDA例程的比较。

Answer 3

我看到的事情：

1. 第一__syncthreads()似乎是多余的。

2. 您的代码中有重复的操作集，例如(-csub[idx-stride]*asub[idx]/bsub[idx-stride]) 。 使用中间变量来保存结果并重复使用它们，而不是让GPU每次都计算这些集合。

3. 使用NVIDIA Profiler查看问题所在。