c中的浮点运算

Question

我们知道在C中，浮点范围从单个精度的1.xxxx * 10 ^ -38到3.xxxx * 10 ^ 38。

在我的演讲幻灯片上有这个操作：

(10^10 + 10^30) + (-10^30) ?= 10^10 + (10^30 + -10^30)
10^30 - 10^30 ?= 10^10 + 0

我想知道为什么10 ^ 10 + 10 ^ 30 = 10 ^ 30在这种情况下？
我想的是，由于FP的范围可以降到10 ^ -38并且高达10 ^ 38，所以不应该有溢出，所以`10 ^ 10 + 10 ^ 30不应该最终为10 ^ 30。

Answer 1

如您对问题的评论所述，存储数字的部分是有限的。 它被称为有效数。

考虑以下简单的14位格式：

[符号位] [5位指数] [8位有效数]

让'bias'为16，即如果指数为16则实际为0（所以我们得到一个好的范围或+/-幂）并且没有隐含的位

所以，如果我们的数字大于2 ^ 8，如2048和0.5

我们的格式：

2048 = 2 ^ 11 = [0] [11011] [1000 0000]

0.5 = 2 ^ -1 = [0] [01111] [1000 0000]

当我们添加这些数字时，我们移动指数，使它们具有相同的小数位。 小数的比喻是：

5×10 ^ 3 + 5×10 ^ -2 => 5×10 ^ 3 + 0.00005×10 ^ 3

所以siginifcand不能容纳12个地方：

2 ^ 11 + 0.000000000001 x 2 ^ 11 = 1.000000000001 x 2 ^ 11

所以它回到2 ^ 11

Answer 2

本质是有效数字的概念。 它是IEEE754 float的大约7位小数。 如果我们使用带有7位有效数字的假设十进制浮点数，则以这种方式进行计算：

10^10 + 10^30 == 1.000 000 * 10^10 + 1.000 000 * 10^30
              == (0.000 000 000 000 000 000 01 + 1.000 000) * 10^30 (match the exponent part)
              => (0.000 000 + 1.000 000) * 10^30 (round the left operand)
              ==  1.000 000 * 10^30
              == 10^30

但是请注意，匹配操作和舍入操作是作为单个步骤完成的，即。 机器永远不能处理有效数字太多的0.000 000 000 000 000 000 01 * 10^30 。

顺便说一下，如果你在C中对浮点算术进行实验，你可能会发现%a格式说明符很有用（在C99中引入）。但请注意， printf总是隐式地将float参数转换为double 。

#include <stdio.h>

int main() {
    float x = 10e10, y = 10e30;
    printf("(%a + %a) == %a == %a\n", x, y, x+y, y);
    return 0;
}

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