AVL树中的最小节点数？

Question

我知道在 AVL 树中找到最小节点数的公式是

S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1

但是，我真的不知道如何使用这个函数，假设我们的 AVL 高度为 6。答案告诉我最小值 = 7 + 4 + 1 = 12。 但是你怎么得到这个数字呢？ 我的意思是当你插入 6 时不是 (6-1) + (6-2) + 1 吗？

谁能向我解释如何解决这个问题？ 我的老师还没有谈论这个，但我真的很想自己弄清楚，以便为下周的考试做好准备。

Answer 1

在S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1 ，

S(h)是递归函数/公式 。 递归函数在其体内调用自身（以更小或更简单的方式）。

请注意，递归函数必须具有一些基本情况，在这种情况下：

S(1) = 0
S(2) = 1

那么假设h = 6 ，则S(h = 6)将（仅替换）：

S(6) = S(6-1) + S(6-2) + 1
S(6) = S(5) + S(4) + 1 
S(6) = 2*S(4) + S(3) + 1 + 1
S(6) = 2*(S(3) + S(2) + 1) + S(3) + 2
S(6) = 3*S(3) + 2*S(2) + 4
S(6) = 3*(S(2) + S(1) + 1) + 2*S(2) + 4
S(6) = 5*S(2) + 3*S(1) + 7
S(6) = 5*1 + 3*0 + 7
S(6) = 12

Answer 2

对于高度为6的树，AVL树中的最小节点数不是20，它应该是33.下面的等式应该演示N（h）函数的递归调用。

由于我们知道N（0）= 1，N（1）= 2，N（2）= 4，我们可以将以下等式减少到h = 6的这些知识。

公式N（h）= 1 + N（h-1）+ N（h-2）

N（3）= 1 + N（3-1）+ N（3-2）= 1 + N（2）+ N（1）= 7

N（4）= 1 + N（4-1）+ N（4-2）= 1 + N（3）+ N（2）= 12

N（5）= 1 + N（5-1）+ N（5-2）= 1 + N（4）+ N（3）= 20

N（6）= 1 + N（6-1）+ N（6-2）= 1 + N（5）+ N（4）= 33

我希望这可以帮到你

Answer 3

函数N（h）= 1 + N（h - 1）+ N（h - 2）

麻省理工学院复习04指出这个递归函数的基本情况是：N（1）= 1; N（2）= 2

因此

N（3）= 1 + N（2）+ N（1）= 1 + 2 + 1 = 4

N（4）= 1 + N（3）+ N（2）= 1 + 4 + 2 = 7

N（5）= 1 + N（4）+ N（3）= 1 + 7 + 4 = 12

N（6）= 1 + N（5）+ N（4）= 1 + 12 + 7 = 20

N（7）= 1 + N（6）+ N（5）= 1 + 20 + 12 = 33

N（8）= 1 + N（7）+ N（6）= 1 + 33 + 20 = 54

依此类推，只需从以前的答案中插入数字......

https://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/rec/rec04.pdf

Answer 4

只需快速注意上面的问题，AVL树中高度为6的树的最小节点数不是12，它应该是20.下面的等式应该演示S（h）函数的递归调用。

由于我们知道S（1）= 1，S（2）= 2，＆S（3）= 4，我们可以将以下等式减少到这些已知的h = 6。

S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1
S(6) = S(5) + S(4) + 1                           // recursive S(5) & S(4)
S(6) = (S(4) + S(3) + 1) + (S(3) + S(2) + 1) + 1 // don't forget '+1'
S(6) = [(S(3) + S(2) + 1) + S(3) + 1] + (S(3) + S(2) + 1) + 1

// now sub in the values
S(6) = [(4 + 2 + 1) + 4 + 1] + (4 + 2 + 1) + 1
S(6) = 4 + 2 + 1 + 4 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1
S(6) = 20

我希望这有帮助。 如果我忽略了什么，请告诉我！

Answer 5

您将S(h-1)与S(h)-1混淆，第一个是高度为h-1的树的（最小）尺寸，第二个是高度为h的树的大小， 然后从那。

Answer 6

使用Fibonacci序列有两种方式：第一种方法不太复杂，但效率不如第二种方式。 为了理解第二种方式你需要知道一些数学，我不会在这里解释，除非你真的希望它或首先检查wiki的一些答案：

public int findMinNodes(int h){
   if(h<0)
      return 0;
   int a=1;
   int b=2;
   int c;
   for(int i=1;i<h;i++){
      c=a+b+1;
      a=b;
      b=c;
      }
   return b;
}

第二种方式：

public static int findMinNodes(int h){
       return (int)(Math.round(((Math.sqrt(5)+2)/
            Math.sqrt(5))*Math.pow((1+
            Math.sqrt(5))/2,h)-1));
        }

注意：如果您尝试使用非常大的输入（例如h = 6000）的第二种方法，您的答案将显示由数学方法引起的“无穷大”。

Answer 7

具有高度h的avl树中的最小节点是其具有1或-1的平衡因子。 在那种avl树中，一个子树的高度为h-1，其他子树的高度为h-2。 因此，我们计算不。 高度为h-1和h-2的树的节点递归并加1。 添加1以计算前一树的根节点。

Answer 8

这个问题有点老了，但我刚刚研究了这个主题，所以我可以提供一个详细的答案。

如果您只想要答案：高度为 h 的 AVL 树中节点的最小值是 f(h+2) - 1 其中 f 是斐波那契数列，定义如下： f(0) = 1, f(1) = 1、f(n+2) = f(n+1) + f(n)。

证明 ：

我们可以通过递归证明以下两个命题来证明这种关系：

设 s(n) 是高度为 n 的 AVL 树中的最小节点数。

我们有：s(0) = 1, s(1) = 2, s(n+2) = s(n+1) + s(n) + 1。

命题 1：s(n) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n)

这可以很容易地通过递归来显示：

首先，在等级 0 和 1，我们有： s(0) = f(0), s(1) = 2 = f(0) + f(1)

现在让我们证明，如果命题在 n 和 n+1 级为真，那么它在 n+2 级为真：

s(n+2) = s(n+1) + s(n) + 1 [formula for s(n+2)]
       = (f(0) + f(1) + ... + f(n+1)) + (f(0) + f(1) + ... + f(n)) + 1 [apply Proposition 1 at rank n and n+1]
       = f(0) + ((f(1) + f(0)) + (f(2) + f(1)) + ... + (f(n+1) + f(n))) + 1 [rearrange the sums]
       = f(0) + (f(2) + f(3) + ... + f(n+2)) + 1 [apply f(n+2) = f(n+1) + f(n)]
       = f(0) + f(1) + (f(2) + f(3) + ... + f(n+2)) [f(1) = 1 and rearrange]
       = f(0) + f(1) + ... + f(n+2)

其中递归表明该属性对于任何大于 0 的 n 都为真。

命题 2：f(n+2) - 1 = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n)

这个证明留给读者作为练习，但它的原理与前一个完全相同。

现在，通过连续应用道具 1 和 2： s(n) = f(0) + f(1) + ... + f(n) = f(n+2) - 1

斐波那契数列有一个通用表达式，因此我们可以将其应用于 n+2 以非常快速地计算任意高度的 AVL 树中的最小节点数。