AVL树的最大和最小节点

Question

给定高度为8时，如何获取AVL树中的最大和最小节点数。

我似乎无法从公式f（8）= f（7）+ f（6）+1正确地找到它

2*f(6)+f(5)+2
2*[f(5)+f(4)+1]+f(5)+2
3*f(5)+2*f4+4
3*[f(4)+f(3)+1]+2*f(4)+4
5*f(4)+3*f(3)+7
5*[f(3)+f(2)+1]+3*f(3)+7
8*f(3)+5*f(2)+12
8*[f(2)+f(1)+1]+5*f(2)+12
13*f(2)+8*f(1)+20
13*[f(1)+f(0)+1]+8*f(1)+20
21*f(1)+13*f(0)+33=54 whereas answer is 88 is the minimum

Answer 1

对于AVL树中的每个节点，我们知道左子树和右子树的深度最多相差1（由定义给出）。

由此可见，下一步非常明显：我们选取深度为N和N-1的最小树并将其作为新根的子树。 显然，AVL规则仍然成立，并且树包含尽可能少的节点（从归纳基本案例中可以明显看出）。

由此，我们得到了递归公式：minnodes（depth）= 1 + minnodes（depth-1）+ minnodes（depth-2）。 那是一个简单的递归方程，Wolfram Alpha可以为您解决这个问题（ 链接 ）。

第二种情况是微不足道的-深度为h的完美二叉树包含给定深度的尽可能多的节点，并且满足AVL条件。

Answer 2

您在某个地方计算了错误的步骤，看起来快要结束了：

f(0) = 1
f(1) = 2
f(2) = f(1) + f(0) + 1 = 4
f(3) = f(2) + f(1) + 1 = 4 + 2 + 1 = 7
f(4) = f(3) + f(2) + 1 = 7 + 4 + 1 = 12
f(5) = f(4) + f(3) + 1 = 12 + 7 + 1 = 20
f(6) = f(5) + f(4) + 1 = 20 + 12 + 1 = 34
f(7) = f(6) + f(5) + 1 = 34 + 20 + 1 = 55
f(8) = f(7) + f(6) + 1 = 55 + 34 + 1 = 88

而且，如果您不相信它，可以随时制作一个简短的代码段进行检查：

@Test
public void testGetMax() {
    assertEquals(88, getMax(8));
}

int getMax(int x) {
    switch (x) {
        case 0:
            return 1;
        case 1:
            return 2;
        default:
            return getMax(x - 1) + getMax(x - 2) + 1;
    }
}