AVL樹中的最小節點數？

Question

我知道在 AVL 樹中找到最小節點數的公式是

S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1

但是，我真的不知道如何使用這個函數，假設我們的 AVL 高度為 6。答案告訴我最小值 = 7 + 4 + 1 = 12。 但是你怎么得到這個數字呢？ 我的意思是當你插入 6 時不是 (6-1) + (6-2) + 1 嗎？

誰能向我解釋如何解決這個問題？ 我的老師還沒有談論這個，但我真的很想自己弄清楚，以便為下周的考試做好准備。

Answer 1

在S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1 ，

S(h)是遞歸函數/公式 。 遞歸函數在其體內調用自身（以更小或更簡單的方式）。

請注意，遞歸函數必須具有一些基本情況，在這種情況下：

S(1) = 0
S(2) = 1

那么假設h = 6 ，則S(h = 6)將（僅替換）：

S(6) = S(6-1) + S(6-2) + 1
S(6) = S(5) + S(4) + 1 
S(6) = 2*S(4) + S(3) + 1 + 1
S(6) = 2*(S(3) + S(2) + 1) + S(3) + 2
S(6) = 3*S(3) + 2*S(2) + 4
S(6) = 3*(S(2) + S(1) + 1) + 2*S(2) + 4
S(6) = 5*S(2) + 3*S(1) + 7
S(6) = 5*1 + 3*0 + 7
S(6) = 12

Answer 2

對於高度為6的樹，AVL樹中的最小節點數不是20，它應該是33.下面的等式應該演示N（h）函數的遞歸調用。

由於我們知道N（0）= 1，N（1）= 2，N（2）= 4，我們可以將以下等式減少到h = 6的這些知識。

公式N（h）= 1 + N（h-1）+ N（h-2）

N（3）= 1 + N（3-1）+ N（3-2）= 1 + N（2）+ N（1）= 7

N（4）= 1 + N（4-1）+ N（4-2）= 1 + N（3）+ N（2）= 12

N（5）= 1 + N（5-1）+ N（5-2）= 1 + N（4）+ N（3）= 20

N（6）= 1 + N（6-1）+ N（6-2）= 1 + N（5）+ N（4）= 33

我希望這可以幫到你

Answer 3

函數N（h）= 1 + N（h - 1）+ N（h - 2）

麻省理工學院復習04指出這個遞歸函數的基本情況是：N（1）= 1; N（2）= 2

因此

N（3）= 1 + N（2）+ N（1）= 1 + 2 + 1 = 4

N（4）= 1 + N（3）+ N（2）= 1 + 4 + 2 = 7

N（5）= 1 + N（4）+ N（3）= 1 + 7 + 4 = 12

N（6）= 1 + N（5）+ N（4）= 1 + 12 + 7 = 20

N（7）= 1 + N（6）+ N（5）= 1 + 20 + 12 = 33

N（8）= 1 + N（7）+ N（6）= 1 + 33 + 20 = 54

依此類推，只需從以前的答案中插入數字......

https://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/rec/rec04.pdf

Answer 4

只需快速注意上面的問題，AVL樹中高度為6的樹的最小節點數不是12，它應該是20.下面的等式應該演示S（h）函數的遞歸調用。

由於我們知道S（1）= 1，S（2）= 2，＆S（3）= 4，我們可以將以下等式減少到這些已知的h = 6。

S(h) = S(h-1) + S(h-2) + 1
S(6) = S(5) + S(4) + 1                           // recursive S(5) & S(4)
S(6) = (S(4) + S(3) + 1) + (S(3) + S(2) + 1) + 1 // don't forget '+1'
S(6) = [(S(3) + S(2) + 1) + S(3) + 1] + (S(3) + S(2) + 1) + 1

// now sub in the values
S(6) = [(4 + 2 + 1) + 4 + 1] + (4 + 2 + 1) + 1
S(6) = 4 + 2 + 1 + 4 + 1 + 4 + 2 + 1 + 1
S(6) = 20

我希望這有幫助。 如果我忽略了什么，請告訴我！

Answer 5

您將S(h-1)與S(h)-1混淆，第一個是高度為h-1的樹的（最小）尺寸，第二個是高度為h的樹的大小， 然后從那。

Answer 6

使用Fibonacci序列有兩種方式：第一種方法不太復雜，但效率不如第二種方式。 為了理解第二種方式你需要知道一些數學，我不會在這里解釋，除非你真的希望它或首先檢查wiki的一些答案：

public int findMinNodes(int h){
   if(h<0)
      return 0;
   int a=1;
   int b=2;
   int c;
   for(int i=1;i<h;i++){
      c=a+b+1;
      a=b;
      b=c;
      }
   return b;
}

第二種方式：

public static int findMinNodes(int h){
       return (int)(Math.round(((Math.sqrt(5)+2)/
            Math.sqrt(5))*Math.pow((1+
            Math.sqrt(5))/2,h)-1));
        }

注意：如果您嘗試使用非常大的輸入（例如h = 6000）的第二種方法，您的答案將顯示由數學方法引起的“無窮大”。

Answer 7

具有高度h的avl樹中的最小節點是其具有1或-1的平衡因子。 在那種avl樹中，一個子樹的高度為h-1，其他子樹的高度為h-2。 因此，我們計算不。 高度為h-1和h-2的樹的節點遞歸並加1。 添加1以計算前一樹的根節點。

Answer 8

這個問題有點老了，但我剛剛研究了這個主題，所以我可以提供一個詳細的答案。

如果您只想要答案：高度為 h 的 AVL 樹中節點的最小值是 f(h+2) - 1 其中 f 是斐波那契數列，定義如下： f(0) = 1, f(1) = 1、f(n+2) = f(n+1) + f(n)。

證明 ：

我們可以通過遞歸證明以下兩個命題來證明這種關系：

設 s(n) 是高度為 n 的 AVL 樹中的最小節點數。

我們有：s(0) = 1, s(1) = 2, s(n+2) = s(n+1) + s(n) + 1。

命題 1：s(n) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n)

這可以很容易地通過遞歸來顯示：

首先，在等級 0 和 1，我們有： s(0) = f(0), s(1) = 2 = f(0) + f(1)

現在讓我們證明，如果命題在 n 和 n+1 級為真，那么它在 n+2 級為真：

s(n+2) = s(n+1) + s(n) + 1 [formula for s(n+2)]
       = (f(0) + f(1) + ... + f(n+1)) + (f(0) + f(1) + ... + f(n)) + 1 [apply Proposition 1 at rank n and n+1]
       = f(0) + ((f(1) + f(0)) + (f(2) + f(1)) + ... + (f(n+1) + f(n))) + 1 [rearrange the sums]
       = f(0) + (f(2) + f(3) + ... + f(n+2)) + 1 [apply f(n+2) = f(n+1) + f(n)]
       = f(0) + f(1) + (f(2) + f(3) + ... + f(n+2)) [f(1) = 1 and rearrange]
       = f(0) + f(1) + ... + f(n+2)

其中遞歸表明該屬性對於任何大於 0 的 n 都為真。

命題 2：f(n+2) - 1 = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n)

這個證明留給讀者作為練習，但它的原理與前一個完全相同。

現在，通過連續應用道具 1 和 2： s(n) = f(0) + f(1) + ... + f(n) = f(n+2) - 1

斐波那契數列有一個通用表達式，因此我們可以將其應用於 n+2 以非常快速地計算任意高度的 AVL 樹中的最小節點數。