在O（n）时间内运行的指数乘法算法？

Question

我正在读一本算法教科书，我对这个问题很难过：

假设我们想要计算值x ^ y，其中x和y分别是具有m和n位的正整数。 解决问题的一种方法是用x进行y-1次乘法。 你能提供一个只使用O（n）乘法步骤的更有效的算法吗？

这会是一个分而治之的算法吗？ y-1乘以x将在θ（n）右边运行？ ..我不知道从哪里开始这个问题

Answer 1

我以迭代的方式更好地理解这一点：

你可以计算所有2的幂的x ^ z：z =（2 ^ 0,2 ^ 1,2 ^ 2，...，2 ^（n-1））

简单地从1到n并且应用x ^（2 ^（i + 1））= x ^（2 ^ i）* x ^（2 ^ i）。

现在您可以使用这些n值来计算x ^ y：

result = 1
for i=0 to n-1:
    if the i'th bit in y is on:
        result *= x^(2^i)
return result

一切都在O（n）完成

Answer 2

应用简单的递归进行分而治之。 在这里，我发布更像伪代码。

x^y :=
    base case: if y==1 return x;
        if y%2==0:  
            then (x^2)^(y/2;
        else 
            x.(x^2)^((y-1)/2);

Answer 3

y-1乘法解决方案基于身份x^y = x * x^(y-1) 。 通过重复应用身份，您知道您将以y-1步骤将y减少到1 。

更好的想法是更“减少”地减少y。 假设偶数y ，我们得到x^y = x^(2*y/2) = (x^2)^(y/2) 。 假设奇数y ，我们得到x^y = x^(2*y/2+1) = x * (x^2)^(y/2) 。

如果继续使用x^2而不是x进行功率计算，您会看到可以将y减半。

递归：

Power(x, y)=
    1 if y = 0
    x if y = 1
    Power(x * x, y / 2) if y even
    x * Power(x * x, y / 2) if y odd

查看它的另一种方法是将y读作加权位的总和。 y = b0 + 2.b1 + 4.b2 + 8.b3...

取幂的性质意味着：

x^y = x^b0 . x^(2.b1) . x^(4.b2) . x^(8.b2)... 
    = x^b0 . (x^2)^b1 . (x^4)^b2 . (x^8)^b3...

您可以通过平方获得所需的x幂，并且y的二进制分解告诉您要乘以哪些幂。