阿格达幂定理

Question

我正在尝试证明以下内容：

1-pow : ∀ {n : ℕ} → 1 pow n ≡ 1
1-pow {zero} = refl
1-pow {suc x} = {!!}  

我是Adga的新手，甚至都不知道从哪里开始。 有什么建议或指导吗？ 显然很容易在纸上证明，但我不确定该告诉阿格达什么。

我将pow函数定义如下：

_pow_ : ℕ → ℕ → ℕ
x pow zero = 1
x pow (suc zero) = x
x pow (suc y) = x * (x pow y)

Answer 1

当您在1-pow中对n进行模式匹配并发现其zero ，Agda将查看_pow_的定义，并检查其中一个功能子句是否匹配。 第一个这样做，因此它将应用该定义，并且1 pow zero变为1 。 1显然等于1 ，所以refl将适用于证明。

那当n是suc x时又如何呢？ 这里的问题：阿格达不能承诺第二条（因为x可能是zero ），也不是第三个子句（因为x可能是suc y一些y ）。 因此，您必须进一步确保Agda应用_pow_的定义：

1-pow : ∀ {n : ℕ} → 1 pow n ≡ 1
1-pow {zero}        = refl
1-pow {suc zero}    = {!!}
1-pow {suc (suc x)} = {!!}

让我们检查一下第一个孔的类型。 阿格达（Agda）告诉我们1 ≡ 1 ，所以我们可以再次使用refl 。 最后一个有点棘手，我们应该产生类型1 * 1 pow (suc x) ≡ 1 。 假设您正在使用_*_的标准定义（即，左侧参数上的递归和左侧的重复加法，例如标准库中的一个），则应减小为1 pow (suc x) + 0 ≡ 1 。 归纳假设（即，对suc x施加1-pow ）告诉我们1 pow (suc x) ≡ 1 。

所以我们几乎到了，但是我们不知道n + 0 ≡ n （这是因为加法是通过对左参数的递归定义的，因此我们无法简化该表达式）。 一种选择是证明这一事实，我留作练习。 不过，这里有个提示：您可能会发现此功能很有用。

cong : ∀ {a b} {A : Set a} {B : Set b}
       (f : A → B) {x y} → x ≡ y → f x ≡ f y
cong f refl = refl

它已经是Relation.Binary.PropositionalEquality模块的一部分，因此您无需自己定义它。

因此，回顾一下：我们知道n + 0 ≡ n和1 pow (suc x) ≡ 1 ，我们需要1 pow (suc x) + 0 ≡ 1 。 这两个事实非常吻合-相等是可传递的，因此我们应该能够将1 pow (suc x) + 0 ≡ 1 pow (suc x)和1 pow (suc x) ≡ 1合并为一个证明，实际上，是这样的：

1-pow {suc (suc x)} = trans (+0 (1 pow suc x)) (1-pow {suc x})

就是这样！

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让我提及其他一些方法。

整个证明也可以使用证明1 * x ≡ x来完成，尽管这与我们之前所做的几乎没有什么不同。

您可以将_pow_简化为：

_pow_ : ℕ → ℕ → ℕ
x pow zero    = 1
x pow (suc y) = x * (x pow y)

使用起来稍微方便些。 证明将进行相应的更改（即，它将没有原始证明的第二子句）。

最后，您可以执行以下操作：

1-pow : ∀ {n : ℕ} → 1 pow n ≡ 1
1-pow {zero}        = refl
1-pow {suc zero}    = refl
1-pow {suc (suc x)} = cong (λ x → x + 0) (1-pow {suc x})

尝试找出原因。 如果您有任何问题，请在评论中让我知道，我们将为您提供帮助。