[英]Create and invert large Galois field matrix
我有一个大小为 128x128 的矩阵。 每个条目都是一个二进制字段元素(在我的用例中,只有 0 和 1)。 我尝试在 matlab 中反转这个矩阵。 我在 matlab 中找到了一些函数,它们在这里进行有限域矩阵求逆http://www.mathworks.com/help/comm/galois-field-computations.html 。
但是,这些内置函数仅支持最大 16x16 的矩阵大小。 还有其他方法可以克服这个限制吗? 我对其他工具持开放态度,例如 python 或 C/C++。
如果您想尝试您的方法,这里是测试矩阵及其逆矩阵。
矩阵 A [0,0,0,1,0,0,1,0;1,1,1,0,1,0,1,1;1,1,1,0,1,1,0,1 ;0,1,0,0,0,0,1,0;0,1,1,1,1,1,1,0;1,0,1,1,0,0,1,0;0 ,0,1,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1,0,0]
矩阵 A^-1 [1,1,1,0,0,1,1,1;0,1,1,1,0,0,0,1;0,1,1,0,0,0, 1,1;1,1,1,0,0,0,0,1;1,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,0,0,0,0, 1;0,1,1,0,0,0,0,1;0,1,0,0,1,1,1,1]
看看 SAGE www.sagemath.org
我有一个尺寸为128x128的矩阵。 每个条目都是一个二进制字段元素(在我的用例中,只有0和1)。 我尝试在Matlab中反转此矩阵。 我在http://www.mathworks.com/help/comm/galois-field-computations.html上找到了一些可进行有限域矩阵求逆的函数。
但是,这些内置函数仅支持最大16x16的矩阵大小。 还有其他方法可以克服此限制吗? 我对其他工具(例如python或C / C ++)持开放态度。
如果您想尝试您的方法,这里是测试矩阵及其逆。
矩阵A [0,0,0,1,0,0,1,0; 1,1,1,0,1,0,1,1; 1,1,1,0,1,1,0,1 ; 0,1,0,0,0,0,1,0; 0,1,1,1,1,1,1,0; 1,0,1,1,0,0,1,0; 0 ,0,1,0,0,0,1,0; 0,0,0,0,0,1,0,0]
矩阵A ^ -1 [1,1,1,0,0,1,1,1; 0,1,1,1,0,0,0,1; 0,1,1,0,0,0, 1,1; 1,1,1,0,0,0,0,1; 1,0,0,1,1,0,1,1; 0,0,0,0,0,0,0, 1; 0,1,1,0,0,0,0,1; 0,1,0,0,1,1,1,1]
反相通过伽罗瓦域的矩阵可以通过执行来实现高斯消去上(具有在伽罗瓦域执行的所有算术) [A | I]
[A | I]
,结果为[I | A^-1]
[I | A^-1]
。
这是一些执行高斯消除(行减少)的伪代码。
def row_reduce(A):
A_rre = A.copy()
p = 0 # The pivot
for j in range(A.shape[1]):
# Find a pivot in column `j` at or below row `p`
idxs = np.nonzero(A_rre[p:,j])[0]
if idxs.size == 0:
continue
i = p + idxs[0] # Row with a pivot
# Swap row `p` and `i`. The pivot is now located at row `p`.
A_rre[[p,i],:] = A_rre[[i,p],:]
# Force pivot value to be 1
A_rre[p,:] /= A_rre[p,j]
# Force zeros above and below the pivot
idxs = np.nonzero(A_rre[:,j])[0].tolist()
idxs.remove(p)
A_rre[idxs,:] -= np.multiply.outer(A_rre[idxs,j], A_rre[p,:])
p += 1
if p == A_rre.shape[0]:
break
return A_rre
我有这个用例,但找不到完成此操作的 Python 库。 所以我创建了一个 Python 包galois ,它在 Galois 字段上扩展了 NumPy 数组。 它使用普通的np.linalg
函数支持线性代数。
这是使用您的测试矩阵的示例。
In [1]: import numpy as np
In [2]: import galois
In [3]: GF = galois.GF(2)
In [4]: A = GF([[0,0,0,1,0,0,1,0],[1,1,1,0,1,0,1,1],[1,1,1,0,1,1,0,1],[0,1,0,0,0,0,1,0],[0,1,1,1,1,1,1,0
...: ],[1,0,1,1,0,0,1,0],[0,0,1,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,1,0,0]]); A
Out[4]:
GF([[0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0],
[1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
[1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1],
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0],
[0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0],
[1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0],
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]], order=2)
In [5]: A_inv = np.linalg.inv(A); A_inv
Out[5]:
GF([[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1],
[0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1],
[0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1],
[1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1],
[1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1],
[0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1],
[0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1]], order=2)
In [6]: A @ A_inv
Out[6]:
GF([[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]], order=2)
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