稀疏对角矩阵求解器

Question

我想在MatLab中求解一个线性系统（对应于以有限差分方案编写的两个方程的PDE系统）。 系统矩阵的动作（对应于PDE系统的扩散项之一）以符号方式读取（ u是未知字段之一， n是时间步长， j是网格点）：

并充分：

上面的矩阵必须是A ，其中A * U ^ n + 1 = B是系统。 U交替包含“ u”和“ v”（PDE系统的第二个未知字段）：U = [u_1，v_1，u_2，v_2，...，u_J，v_J]。 到目前为止，我一直以下列昂贵的方式使用spdiags和diag填充此矩阵：

    E=zeros(2*J,1);

    E(1:2:2*J) = 1;
    E(2:2:2*J) = 0;

    Dvec=zeros(2*J,1);

        for i=3:2:2*J-3
                 Dvec(i)=D_11((i+1)/2);    
        end

        for i=4:2:2*J-2
                 Dvec(i)=D_21(i/2);
        end

    A = diag(Dvec)*spdiags([-E,-E,2*E,2*E,-E,-E],[-3,-2,-1,0,1,2],2*J,2*J)/(dx^2);`

和解决方案

[L,U]=lu(A);
 y = L\B; 
 U(:) =U\y; 

其中B是右侧向量。

这显然是不合理的昂贵，因为它需要构建JxJ矩阵，进行JxJ矩阵乘法等。

接下来是我的问题：是否有一种方法可以解决该系统而无需将MatLab传递给矩阵，例如通过传递矢量Dvec或直接D_11和D_22 ？ 这将节省我很多内存和处理时间！

Answer 1

Matlab不会将稀疏矩阵存储为JxJ数组，而是存储为大小为O（J）的列表。 参见http://au.mathworks.com/help/matlab/math/constructing-sparse-matrices.html由于您使用spdiags函数构造A，因此Matlab应该已经将A识别为稀疏，因此您确实应该看到这样的列表如果在控制台视图中显示A。

对于像您这样的三对角矩阵，L和U矩阵应该已经稀疏。

因此，您只需要确保\\运算符即可根据http://au.mathworks.com/help/matlab/ref/mldivide.html中的规则使用适当的稀疏算法。 尚不清楚向量B是否已被视为稀疏，但您可以将其重铸为对角矩阵，当然应该将其视为稀疏。