稀疏對角矩陣求解器

Question

我想在MatLab中求解一個線性系統（對應於以有限差分方案編寫的兩個方程的PDE系統）。 系統矩陣的動作（對應於PDE系統的擴散項之一）以符號方式讀取（ u是未知字段之一， n是時間步長， j是網格點）：

並充分：

上面的矩陣必須是A ，其中A * U ^ n + 1 = B是系統。 U交替包含“ u”和“ v”（PDE系統的第二個未知字段）：U = [u_1，v_1，u_2，v_2，...，u_J，v_J]。 到目前為止，我一直以下列昂貴的方式使用spdiags和diag填充此矩陣：

    E=zeros(2*J,1);

    E(1:2:2*J) = 1;
    E(2:2:2*J) = 0;

    Dvec=zeros(2*J,1);

        for i=3:2:2*J-3
                 Dvec(i)=D_11((i+1)/2);    
        end

        for i=4:2:2*J-2
                 Dvec(i)=D_21(i/2);
        end

    A = diag(Dvec)*spdiags([-E,-E,2*E,2*E,-E,-E],[-3,-2,-1,0,1,2],2*J,2*J)/(dx^2);`

和解決方案

[L,U]=lu(A);
 y = L\B; 
 U(:) =U\y; 

其中B是右側向量。

這顯然是不合理的昂貴，因為它需要構建JxJ矩陣，進行JxJ矩陣乘法等。

接下來是我的問題：是否有一種方法可以解決該系統而無需將MatLab傳遞給矩陣，例如通過傳遞矢量Dvec或直接D_11和D_22 ？ 這將節省我很多內存和處理時間！

Answer 1

Matlab不會將稀疏矩陣存儲為JxJ數組，而是存儲為大小為O（J）的列表。 參見http://au.mathworks.com/help/matlab/math/constructing-sparse-matrices.html由於您使用spdiags函數構造A，因此Matlab應該已經將A識別為稀疏，因此您確實應該看到這樣的列表如果在控制台視圖中顯示A。

對於像您這樣的三對角矩陣，L和U矩陣應該已經稀疏。

因此，您只需要確保\\運算符即可根據http://au.mathworks.com/help/matlab/ref/mldivide.html中的規則使用適當的稀疏算法。 尚不清楚向量B是否已被視為稀疏，但您可以將其重鑄為對角矩陣，當然應該將其視為稀疏。