Euler在python中的方法

Question

我正在尝试实现euler的方法来近似python中e的值。 这是我到目前为止：

def Euler(f, t0, y0, h, N):
    t = t0 + arange(N+1)*h
    y = zeros(N+1)
    y[0] = y0
    for n in range(N):
        y[n+1] = y[n] + h*f(t[n], y[n])
        f = (1+(1/N))^N
    return y

但是，当我尝试调用该函数时，我收到错误“ValueError：shape <= 0”。 我怀疑这与我如何定义f有关？ 我在调用euler时尝试直接输入f，但是给了我与未定义的变量相关的错误。 我也尝试将f定义为它自己的函数，这给了我一个除0错误。

def f(N):
    for n in range(N): 
        return (1+(1/n))^n

（不确定N是否适合在此使用...）

Answer 1

你确定你没有尝试实施牛顿方法吗？ 因为牛顿的方法用于近似根。

如果你决定使用牛顿方法，这里是一个稍微改变的代码版本，它近似于2的平方根。你可以用你在函数中使用的函数及其派生词改变f(x)和fp(x)接近你想要的东西。

import numpy as np

def f(x):
    return x**2 - 2


def fp(x):
    return 2*x

def Newton(f, y0, N):
    y = np.zeros(N+1)
    y[0] = y0
    for n in range(N):
        y[n+1] = y[n] - f(y[n])/fp(y[n])
    return y

print Newton(f, 1, 10)

给

[ 1. 1.5 1.41666667 1.41421569 1.41421356 1.41421356 1.41421356 1.41421356 1.41421356 1.41421356 1.41421356]

这是两个平方根的初始值和前十次迭代。

除此之外，一个很大的问题是使用^代替**代表权限，这是一个合法但在python中完全不同（按位）的操作。

Answer 2

你试图使用的公式不是Euler的方法，而是e的逼近无限维基的e的精确值，

$n = \lim_{n\to\infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

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欧拉方法用于求解一阶微分方程。

这里有两个指南，展示了如何实现Euler方法来解决一个简单的测试函数： 初学者指南和数字ODE指南 。

要回答这篇文章的标题，而不是你要问的问题，我用Euler的方法来解决通常的指数衰减：

$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$

哪个有解决方案，

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from __future__ import division

# Concentration over time
N = lambda t: N0 * np.exp(-k * t)
# dN/dt
def dx_dt(x):
    return -k * x

k = .5
h = 0.001
N0 = 100.

t = np.arange(0, 10, h)
y = np.zeros(len(t))

y[0] = N0
for i in range(1, len(t)):
    # Euler's method
    y[i] = y[i-1] + dx_dt(y[i-1]) * h

max_error = abs(y-N(t)).max()
print 'Max difference between the exact solution and Euler's approximation with step size h=0.001:'

print '{0:.15}'.format(max_error)

输出：

Max difference between the exact solution and Euler's approximation with step size h=0.001:
0.00919890254720457

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注意：我不确定如何正确显示LaTeX。