在Scala中组成免费monad

Question

我想我明白Free monad是什么。 我希望我的理解也是仿函数构成 ，但单子没有 ，也就是说，如果M1和M2的单子，然后M1[M2] 不一定是一个单子。

我的问题是：

• Free单子组成吗？
• 假设我们有仿函数F1和F2以及它们的组成F1[F2] 。 假设我们还有Free1和Free2 - F1和F2 Free单子。 我们可以用Free1和Free2定义F1[F2]的Free monad吗？

Answer 1

希望我能回答你的问题：

自由单子组成吗？

不 。 出于与“普通”monad相同的原因没有。 要编写monadic 绑定，我们需要了解有关底层monad的信息，或者关于自由monad案例中的底层函子。

希望Haskell语法不会吓到你太多：

type X f g a = Free f (Free g a)

bind :: X f g a -> (a -> X f g b) -> X f g b
bind (Pure (Pure x)) k = k x
bind (Pure (Free f)) k = error "not implemented"
bind _ = error "we don't even consider other cases"

在第二种情况下，我们有f :: g (Free ga)和k :: a -> Free f (Free gb) 。 我们可以fmap ，因为这是我们唯一可以做的事情：

bind (Pure (Free f)) k = let kf = fmap (fmap k) f -- fmapping inside g ∘ Free g
                         in = error "not implement"

当我们需要Free f (Free gb)时， kf的类型是： g (Free g (Free f (Free gb))) Free f (Free gb) 。 您将遇到与为任何Compose m1 m2 monad实例时相同的问题，我们需要重新排序从ggfg到fggg “绑定层”，并且为了进行这种换向，我们需要了解更多关于f和g 。

如果你想看到上面的Scala版本，请发表评论。 但它会更加模糊:(

我们可以用Free1和Free2定义F1 [F2]的免费monad

换句话说：

type Free1[A] = Free[F1, A]
type Free2[A] = Free[F2, B]

type FreeDist[A] = Free1[Free2[A]] = Free[F1, Free[F2, A]]
type FreeComp[A] = Free[F1[F2[_]], A]

我们可以写一个从FreeDist[A]到FreeComp[A]的monad同态（一个很好的映射）吗？ 我们不能，出于与前一部分相同的原因。

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Scala版本

Scalaz有Free的子类的私有定义，所以我必须自己实现Free以拥有一个“可运行”的例子。 部分代码从http://eed3si9n.com/learning-scalaz/Free+Monad.html中删除

Scala中Free第一个最简单的定义：

import scala.language.higherKinds

trait Functor[F[_]] {
  def map[A, B](x: F[A])(f: A => B): F[B]
}

sealed trait Free[F[_], A] {
  def map[B](f: A => B)(implicit functor: Functor[F]): Free[F, B]
  def flatMap[B](f: A => Free[F, B])(implicit functor: Functor[F]): Free[F, B]
}
case class Pure[F[_], A](x: A) extends Free[F, A] {
  def map[B](f: A => B)(implicit functor: Functor[F]): Free[F, B] = Pure[F, B](f(x))
  def flatMap[B](f: A => Free[F, B])(implicit functor: Functor[F]): Free[F, B] = f(x)
}
case class Bind[F[_], A](x: F[Free[F, A]]) extends Free[F, A]  {
  def map[B](f: A => B)(implicit functor: Functor[F]): Free[F, B] = Bind {
    functor.map[Free[F,A], Free[F,B]](x) { y => y.map(f) }
  }
  // omitted 
  def flatMap[B](f: A => Free[F, B])(implicit functor: Functor[F]): Free[F, B] = ???
}

使用它我们可以将Haskell示例转换为Scala：

type X[F[_], G[_], A] = Free[F, Free[G, A]]

// bind :: X f g a -> (a -> X f g b) -> X f g b
def xFlatMap[F[_], G[_], A, B](x: X[F, G, A], k: A => X[F, G, B])(implicit functorG: Functor[G]): X[F, G, B] =
  x match {
    case Pure(Pure(y)) => k(y)
    case Pure(Bind(f)) => {
      // kf :: g (Free g (Free f (Free g b)))
      val kf: G[Free[G, Free[F, Free[G, B]]]] = functorG.map(f) { y => y.map(k) }
      // But we need Free[F, Free[G, B]]
      ???
    }
    // we don't consider other cases
    case _ => ???
  }

结果是一样的，我们不能使类型匹配，我们需要以某种方式将Free[G, Free[F, A]]转换为Free[F, Free[G, A]] 。