如何在Agda中定义除法运算符？

Question

我想分两个自然数。 我做了这样的功能

_/_ : N -> N -> frac
m / one = m / one
(suc m) / n = ??        I dont know what to write here.

请帮忙。

Answer 1

正如@gallais所说，你可以明确地使用有根据的递归，但我不喜欢这种方法，因为它完全不可读。

此数据类型

record Is {α} {A : Set α} (x : A) : Set α where
  ¡ = x
open Is

! : ∀ {α} {A : Set α} -> (x : A) -> Is x
! _ = _

允许将值提升到类型级别，例如，您可以定义类型安全的pred函数：

pred⁺ : ∀ {n} -> Is (suc n) -> ℕ
pred⁺ = pred ∘ ¡

然后

test-1 : pred⁺ (! 1) ≡ 0
test-1 = refl

typechecks，而

fail : pred⁺ (! 0) ≡ 0
fail = refl

没有。 可以用相同的方式定义具有正减数的减法（以确保良好的基础）：

_-⁺_ : ∀ {m} -> ℕ -> Is (suc m) -> ℕ
n -⁺ im = n ∸ ¡ im

然后使用我在这里描述的东西，你可以重复从另一个数字中减去一个数字，直到差异小于第二个数字：

lem : ∀ {n m} {im : Is (suc m)} -> m < n -> n -⁺ im <′ n
lem {suc n} {m} (s≤s _) = s≤′s (≤⇒≤′ (n∸m≤n m n))

iter-sub : ∀ {m} -> ℕ -> Is (suc m) -> List ℕ
iter-sub n im = calls (λ n -> n -⁺ im) <-well-founded lem (_≤?_ (¡ im)) n

例如

test-1 : iter-sub 10 (! 3) ≡ 10 ∷ 7 ∷ 4 ∷ []
test-1 = refl

test-2 : iter-sub 16 (! 4) ≡ 16 ∷ 12 ∷ 8 ∷ 4 ∷ []
test-2 = refl

div⁺然后很简单

_div⁺_ : ∀ {m} -> ℕ -> Is (suc m) -> ℕ
n div⁺ im = length (iter-sub n im)

和一个类似于Data.Nat.DivMod模块中的Data.Nat.DivMod （只有没有Mod部分）：

_div_ : ℕ -> (m : ℕ) {_ : False (m ≟ 0)} -> ℕ
n div  0      = λ{()}
n div (suc m) = n div⁺ (! (suc m))

一些测试：

test-3 : map (λ n -> n div 3)
           (0 ∷ 1 ∷ 2 ∷ 3 ∷ 4 ∷ 5 ∷ 6 ∷ 7 ∷ 8 ∷ 9 ∷ [])
         ≡ (0 ∷ 0 ∷ 0 ∷ 1 ∷ 1 ∷ 1 ∷ 2 ∷ 2 ∷ 2 ∷ 3 ∷ [])
test-3 = refl

但请注意，标准库中的版本还包含完整性：

property  : dividend ≡ toℕ remainder + quotient * divisor

整个代码 。

Answer 2

除法通常被定义为迭代减法，这需要略微不寻常的归纳原理。 参见例如标准库中的定义 。