寻找汉明数 - 不是代码或距离

Question

我目前正在学习 C++。

我要找海明号码（号码，其素因子是小于或等于5）。

当我输入一个数字n 时，程序应该输出第n个汉明数。

以下数字是输入和输出：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...

1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 ...

查找汉明数看起来很容易，但增加输入数会成倍增加运行时间成本。

如果我输入超过1000 ，它几乎花费超过1秒，超过1200 ，它几乎花费超过5秒。

这是我写的代码：

while (th > 1)
{
    h++;
    x = h;

    while (x % 2 == 0)
        x /= 2;
    while (x % 3 == 0)
        x /= 3;
    while (x % 5 == 0)
        x /= 5;

    if (x == 1)
        th--;
}

所以我想知道如何更快地找到答案。 这个算法好像不太好。

提前致谢。

Answer 1

如果您想检查一个特定数字是否是汉明数，您的代码很好。 当你想建立一个汉明数列表时，它是低效的。

您可以使用自下而上的方法：从 1 开始，然后将其与 2、3 和 5 递归地相乘，以使所有汉明数达到某个限制。 您必须处理重复项，因为您可以通过 2·3 和 3·2 达到 6。 一个集合可以解决这个问题。

下面的代码将生成适合 32 位无符号整数的所有汉明数。 它通过“扩展”到所有汉明数来填充集合。 然后它从集合中构造一个排序向量，您可以使用它来查找某个索引处的汉明数：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>

typedef unsigned int uint;

const uint umax = 0xffffffff;

void spread(std::set<uint> &hamming, uint n)
{
    if (hamming.find(n) == hamming.end()) {
        hamming.insert(n);

        if (n < umax / 2) spread(hamming, n * 2);
        if (n < umax / 3) spread(hamming, n * 3);
        if (n < umax / 5) spread(hamming, n * 5);
    }
}

int main()
{
    std::set<uint> hamming;

    spread(hamming, 1);

    std::vector<uint> ordered(hamming.begin(), hamming.end());

    for (size_t i = 0; i < ordered.size(); i++) {
        std::cout << i << ' ' << ordered[i] << '\n';
    }

    return 0;
}

即使您最终创建了比您需要的更多的汉明数，此代码也比您的线性方法更快。

如果您确保不构造一个数字两次，您甚至不需要集合。 每个汉明数都可以写成h = 2^n2 + 3^n3 + 5^n5 ，所以如果你找到一种方法来唯一地迭代这些，你就完成了：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <vector>

typedef unsigned int uint;

int main()
{
    const uint umax = 0xffffffff;
    std::vector<uint> hamming;

    for (uint k = 1;; k *= 2) {
        for (uint l = k;; l *= 3) {
            for (uint m = l;; m *= 5) {
                hamming.push_back(m);
                if (m > umax / 5) break;
            }
            if (l > umax / 3) break;
        }
        if (k > umax / 2) break;
    }

    std::sort(hamming.begin(), hamming.end());

    for (size_t i = 0; i < hamming.size(); i++) {
        std::cout << i << ' ' << hamming[i] << '\n';
    }

    return 0;
}

循环需要奇怪的break语法，因为我们必须在溢出之前检查大小。 如果保证 umax umax*5不会溢出，则可以将这些条件写入循环的条件部分。

Koshinae 发布的 Rosetta Code 链接中的代码示例使用了类似的策略，但我很惊讶其中一些代码的长度如此之长。

Answer 2

在此链接中，您可以找到用于查找第n 个汉明数的两种不同解决方案。 第二种方法是优化的方法，可以在几秒钟内得到结果。

/* Function to get the nth ugly number*/
unsigned getNthUglyNo(unsigned n) 
{ 
    unsigned ugly[n]; // To store ugly numbers 
    unsigned i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0; 
    unsigned next_multiple_of_2 = 2; 
    unsigned next_multiple_of_3 = 3; 
    unsigned next_multiple_of_5 = 5; 
    unsigned next_ugly_no = 1; 

    ugly[0] = 1; 
    for (int i=1; i<n; i++) 
    { 
        next_ugly_no = min(next_multiple_of_2, 
                           min(next_multiple_of_3, 
                               next_multiple_of_5)); 
        ugly[i] = next_ugly_no; 
        if (next_ugly_no == next_multiple_of_2) 
        { 
            i2 = i2+1; 
            next_multiple_of_2 = ugly[i2]*2; 
        } 
        if (next_ugly_no == next_multiple_of_3) 
        { 
            i3 = i3+1; 
            next_multiple_of_3 = ugly[i3]*3; 
        } 
        if (next_ugly_no == next_multiple_of_5) 
        { 
           i5 = i5+1; 
           next_multiple_of_5 = ugly[i5]*5; 
        } 
    } /*End of for loop (i=1; i<n; i++) */

return next_ugly_no; 
}