浮点加法/乘法/除法

Question

我在教科书上做了一些作业问题，并对某些算术运算的浮点取整/精度有一些疑问。

如果我像这样从int转换了双打：

int x = random();
double dx = (double) x; 

假设变量y ， z ， dy和dz遵循相同的格式。

然后将执行以下操作：

(dx + dy) + dz == dx + (dy + dz)
(dx * dy) * dz == dx * (dy * dz)

有联系吗？ 我知道，如果我们有小数表示形式，那么它就没有关联性，因为舍入取舍取决于某些操作数彼此相加/相乘，因此会损失一些精度。 但是，由于这些都是从整数强制转换的，所以我觉得精度将不是问题，并且可以关联吗？

最后，我使用的教科书根本没有解释FP的除法运算，所以我想知道这句话是否正确，或者至少是浮点除法的一般工作原理：

dx / dx == dz / dz

我在网上查询了此内容，并在某些地方阅读了类似3/3这样的操作，它可以产生.999 ... 9，但没有足够的信息来说明这种情况是如何发生的，或者它是否会随其他部门的操作而变化。

Answer 1

假设int最多为32位，并且遵循IEEE-754的double 。 double最多可以精确存储2 ^53的整数值。

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如果是加法：

(dx + dy) + dz == dx + (dy + dz)

==两端都有其精确值，因此是关联的。

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而在乘法的情况下：

(dx * dy) * dz == dx * (dy * dz)

该值可能超过2 ⁵³ ，因此不能保证它们相等。

Answer 2

您应该理解，浮点数通常在内部表示为符号位，定点尾数（对于IEEE 64位doubles为52位，其中隐含前导1）和二进制指数（对于IEEE doubles为11位）。 您可以将指数视为给定值的数学单位的“量子”。

如果所有和都适合尾数且指数不超过2 ⁰ == 1，则该加法应该是关联的。如果random()产生32位整数，则适合(dx + dy) + dz和，并且该添加将是关联的。

在乘法的情况下，很容易看到2个32位数字的乘积可能远远超过53位，因此指数可能需要大于1才能使尾数包含结果的大小，因此关联性失败。

对于除法，在dx / dx的特定情况下，编译器可以将表达式替换为常数1.0（可能在零校验之后）。