在图中的O（V + E）时间中查找MST

Question

之前也曾问过类似的问题，例如https://cs.stackexchange.com/questions/28635/find-an-mst-in-a-graph-with-edge-weights-from-1-2

问题是：给定一个连通的无向图G =（V，E）和权重函数w：E→{1,2}，建议一种高效的算法，无需使用O（V + E）即可找到图的MST克鲁斯卡。

我在上面的线程中查看了建议的解决方案，但仍不确定如何使其工作。 第一条建议不考虑组件。 第二个建议没有提供更多有关如何识别新考虑的边沿（如果将其添加到当前MST中）是否会形成一个循环的更多详细信息。 棘手的部分是如何确定直线时间中两个顶点是否在同一分量中。

我目前的想法是

1. 对顶点排序，可以在线性时间内完成
2. 首先考虑权重为1的边。 当边的数量小于或等于| V1 | -1时，将边添加到MST中。 V1是权重为1的边上的顶点。我们需要确保选中权重为1的所有顶点。 哈希集可用于存储V1和边。
3. 使用相同的逻辑将V2添加到图形中。

谁能说出我的想法是否有缺陷？ 如果是这样，解决这个问题的最佳方法是什么？ 非常感谢你！

Answer 1

我建议您对给定问题做类似第二个答案的操作：

这是prim的算法：

首先选择任何顶点作为树的根。

虽然树在图中未包含所有顶点，但找到离开树的最短边并将其添加到树中。

因此，现在，如果我们可以在O（1）的时间内对离开树的边缘集合进行查找，并且可以使该集合保持更新，以便总O（| E |）的时间始终在恒定的时间内进行搜索，那么我们很好。

现在，要使这种情况发生，请考虑将树保留为链接列表的一组边。 现在，只要将顶点添加到构成MST的一组顶点中，就迭代其邻接表，并将权重1的边添加到列表的前面，并将权重2的边添加到列表的末尾。 现在，只要您想离开树的最小边缘，就从链接列表的前面选择一个！

这种方法的唯一问题是，您只应将边缘添加到“离开树”的列表中！ 因为如果不这样做，我们最终可能会陷入循环！ 为了检查每个边缘的“离开树”属性，我们可以使用一组选定的顶点，并且可以在添加之前检查每个边缘，因为它在集合中没有两端，所以简单地在添加将新添加的顶点的边缘添加到离开树的一组边上，首先检查该边的另一端的顶点是否在树的选定顶点集中，然后仅当另一边不是该边时才将其添加到列表中t在集合中。 您可以在O（1）时间内检查集合中某个元素的存在，这样就不会导致循环！