在python中找到直线和圆的交点的最有效方法是什么？

Question

我有一个由很多点组成的多边形。 我想找到多边形和圆的交点。 提供 [x0,y0] 的圆心和 r0 的半径，我写了一个粗略的函数来简单地求解圆和直线的二次方程。 但是一一找到多边形的每条线段的交点的效率如何呢？ 有没有更有效的方法？

我知道 sympy 已经提供了获取不同几何图形交点的功能。 但是如果我想处理很多多边形，那么像 sympy 这样的外部库的效率与我自己的函数计算相比呢？

def LineIntersectCircle(p,lsp,lep):
# p is the circle parameter, lsp and lep is the two end of the line
  x0,y0,r0 = p
  x1,y1 = lsp
  x2,y2 = esp
  if x1 == x2:
    if abs(r0) >= abs(x1 - x0):
        p1 = x1, y0 - sqrt(r0**2 - (x1-x0)**2)
        p2 = x1, y0 + sqrt(r0**2 - (x1-x0)**2)
        inp = [p1,p2]
        # select the points lie on the line segment
        inp = [p for p in inp if p[1]>=min(y1,y2) and p[1]<=max(y1,y2)]
    else:
        inp = []
  else:
    k = (y1 - y2)/(x1 - x2)
    b0 = y1 - k*x1
    a = k**2 + 1
    b = 2*k*(b0 - y0) - 2*x0
    c = (b0 - y0)**2 + x0**2 - r0**2
    delta = b**2 - 4*a*c
    if delta >= 0:
        p1x = (-b - sqrt(delta))/(2*a)
        p2x = (-b + sqrt(delta))/(2*a)
        p1y = k*x1 + b0
        p2y = k*x2 + b0
        inp = [[p1x,p1y],[p2x,p2y]]
        # select the points lie on the line segment
        inp = [p for p in inp if p[0]>=min(x1,x2) and p[0]<=max(x1,x2)]
    else:
        inp = []
  return inp

Answer 1

我想也许你的问题是关于理论上如何以最快的方式做到这一点。 但是如果你想快速完成这件事，你真的应该使用用 C/C++ 编写的东西。

我很习惯Shapely ，所以我将提供一个例子来说明如何使用这个库来做到这一点。 python有很多几何库。 我将在此答案的末尾列出它们。

from shapely.geometry import LineString
from shapely.geometry import Point

p = Point(5,5)
c = p.buffer(3).boundary
l = LineString([(0,0), (10, 10)])
i = c.intersection(l)

print i.geoms[0].coords[0]
(2.8786796564403576, 2.8786796564403576)

print i.geoms[1].coords[0]
(7.121320343559642, 7.121320343559642)

在 Shapely 中有点违反直觉的是，圆是具有缓冲区的点的边界。 这就是为什么我做p.buffer(3).boundry

同样，交点i是一个几何形状列表，在这种情况下它们都指向，这就是为什么我必须从i.geoms[]获取它们

还有另一个 Stackoverflow 问题，它为感兴趣的人详细介绍了这些库。

• 符号
• CGAL Python 绑定
• 吡欧几里德
• 蟒蛇OCC
• 几何简单

编辑因为评论：

Shapely 基于 GEOS (trac.osgeo.org/geos)，它是用 C++ 构建的，比你用 Python 原生编写的任何东西都要快得多。 SymPy 似乎基于 mpmath (mpmath.org)，它也似乎是 python，但似乎集成了许多相当复杂的数学。 自己实现它可能需要很多工作，并且可能不如 GEOS C++ 实现快。

Answer 2

这是一个计算圆与由两个 (x, y) 点定义的直线或线段的交点的解决方案：

def circle_line_segment_intersection(circle_center, circle_radius, pt1, pt2, full_line=True, tangent_tol=1e-9):
    """ Find the points at which a circle intersects a line-segment.  This can happen at 0, 1, or 2 points.

    :param circle_center: The (x, y) location of the circle center
    :param circle_radius: The radius of the circle
    :param pt1: The (x, y) location of the first point of the segment
    :param pt2: The (x, y) location of the second point of the segment
    :param full_line: True to find intersections along full line - not just in the segment.  False will just return intersections within the segment.
    :param tangent_tol: Numerical tolerance at which we decide the intersections are close enough to consider it a tangent
    :return Sequence[Tuple[float, float]]: A list of length 0, 1, or 2, where each element is a point at which the circle intercepts a line segment.

    Note: We follow: http://mathworld.wolfram.com/Circle-LineIntersection.html
    """

    (p1x, p1y), (p2x, p2y), (cx, cy) = pt1, pt2, circle_center
    (x1, y1), (x2, y2) = (p1x - cx, p1y - cy), (p2x - cx, p2y - cy)
    dx, dy = (x2 - x1), (y2 - y1)
    dr = (dx ** 2 + dy ** 2)**.5
    big_d = x1 * y2 - x2 * y1
    discriminant = circle_radius ** 2 * dr ** 2 - big_d ** 2

    if discriminant < 0:  # No intersection between circle and line
        return []
    else:  # There may be 0, 1, or 2 intersections with the segment
        intersections = [
            (cx + (big_d * dy + sign * (-1 if dy < 0 else 1) * dx * discriminant**.5) / dr ** 2,
             cy + (-big_d * dx + sign * abs(dy) * discriminant**.5) / dr ** 2)
            for sign in ((1, -1) if dy < 0 else (-1, 1))]  # This makes sure the order along the segment is correct
        if not full_line:  # If only considering the segment, filter out intersections that do not fall within the segment
            fraction_along_segment = [(xi - p1x) / dx if abs(dx) > abs(dy) else (yi - p1y) / dy for xi, yi in intersections]
            intersections = [pt for pt, frac in zip(intersections, fraction_along_segment) if 0 <= frac <= 1]
        if len(intersections) == 2 and abs(discriminant) <= tangent_tol:  # If line is tangent to circle, return just one point (as both intersections have same location)
            return [intersections[0]]
        else:
            return intersections

Answer 3

一个低成本的空间分区可能是将飞机分成 9 块

这是一个糟糕的图表。 想象一下，如果你愿意的话，线条刚好接触到圆圈。

| |
__|_|__
__|O|__
  | |
  | |

我们感兴趣的 8 个区域围绕着圆圈。 中心的正方形对于廉价测试没有多大用处，但是您可以在圆内放置一个r/sqrt(2)正方形，因此它的角只需接触圆即可。

让我们标记区域

A |B| C
__|_|__
D_|O|_E
  | |
F |G| H

中心的r/sqrt(2)的平方我们称之为J

我们将调用图中所示中心正方形中不在J , Z

用字母代码标记多边形的每个顶点。

现在我们可以很快看到

AA => Outside
AB => Outside
AC => Outside
...
AJ => Intersects
BJ => Intersects
...
JJ => Inside

这可以变成一个查找表

因此，根据您的数据集，您可能为自己节省了大量工作。 然而，任何在Z有端点的东西都需要进行测试。

Answer 4

我认为您用于查找两个交点坐标的公式无法进一步优化。 唯一的改进（在数值上很重要）是区分两种情况： |x_2-x_1| >= |y_2-y_1| |x_2-x_1| >= |y_2-y_1| 和|x_2-x1| < |y_2-y1| |x_2-x1| < |y_2-y1| 以便数量k始终在 -1 和 1 之间（在您的计算中，如果 |x_2-x_1| 非常小，您可能会得到非常高的数值误差）。 您可以交换 xs 和 ys 以将一种情况减少到另一种情况。

您还可以进行初步检查：如果两个端点都在圆的内部，则没有交集。 通过计算点到圆心的平方距离，这变成了一个不使用平方根函数的简单公式。 另一个检查：“线是否在圆外”已经在您的代码中实现，对应于 delta < 0。如果您有很多小段，这两个检查在大多数情况下应该给出一个快捷的答案（没有交集）。