具有动态约束的Python Pulp整数线性程序

Question

我想用以下目标函数求解混合整数线性程序：

J =最大化（f1（x）+ f2（x））受约束：cost（x）<=阈值

其中x是所选变量的集合，f1和f2是两个计分函数，而cost是成本函数。

f2是基于所选变量之间相似性的函数。 我不知道如何在纸浆中制定这项职能。

这是我的最小工作示例，其中函数f2是两种成分之间的相似度，如果j已包含在选定变量中，但我不知道如何执行，我想向目标函数添加similarity[i][j] 。

import numpy as np
import pulp
threshold = 200
model = pulp.LpProblem('selection', pulp.LpMaximize)
similarity = np.array([[1., 0.08333333, 0.1, 0., 0., 0.0625],
                       [0.08333333, 1., 0.33333333,
                           0., 0.11111111, 0.07692308],
                       [0.1, 0.33333333, 1., 0.2, 0., 0.09090909],
                       [0., 0., 0.2, 1., 0., 0.],
                       [0., 0.11111111, 0., 0., 1., 0.27272727],
                       [0.0625, 0.07692308, 0.09090909, 0., 0.27272727, 1.]])
ingredients = ['var_%d' % i for i in range(6)]
scores = np.random.randint(1, 3, size=len(ingredients))
costs = np.random.randint(20, 60, len(ingredients))
scores = dict(zip(ingredients, scores))
costs = dict(zip(ingredients, costs))
x = pulp.LpVariable.dict(
    'x_%s', ingredients, lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
model += sum([scores[i] * x[i] for i in ingredients])
model += sum([costs[i] * x[i] for i in ingredients]) <= threshold
solver = pulp.solvers.PULP_CBC_CMD()
model.solve(solver)

此代码基本上只考虑静态成本（在“成本变量”中编码）。 如何动态添加作为similarity变量的相似成本？

Answer 1

我相信您想要做的是添加一个交互项，该交互项实质上表示当同时选择成分i和j时，存在与i和j相关的额外成本，这在similarity矩阵中进行了描述。 我将假设（就您的情况而言） similarity是一个对称矩阵，因为i和j的顺序无关紧要（仅在同时选择和不选择两者的情况下才重要）。

幼稚的表述是将selected[i, j] * x[i] * x[j]到目标。 这将使该问题成为非线性问题，尽管其结构并不是很难解决的，但是有一个通用的建模技巧可以使模型保持线性。 这里是。

仅当i和j参与解时，我们才定义一组等于1的新变量y_{ij} 。 注意，我们可以定义它们，以便i>j或j<i因为我们并不真正在乎排序。 我们施加了限制：

y_{ij} <= x_i
y_{ij} <= x_j
y_{ij} >= x_i + x_j - 1

这组限制条件确保y_{ij}仅在x_i和x_j都等于1时才等于1 ，这就是我们想要的。

您的代码的实现：

import numpy as np
import pulp
from itertools import product
threshold = 200
model = pulp.LpProblem('selection', pulp.LpMaximize)
similarity = np.array([[1., 0.08333333, 0.1, 0., 0., 0.0625],
                       [0.08333333, 1., 0.33333333,
                           0., 0.11111111, 0.07692308],
                       [0.1, 0.33333333, 1., 0.2, 0., 0.09090909],
                       [0., 0., 0.2, 1., 0., 0.],
                       [0., 0.11111111, 0., 0., 1., 0.27272727],
                       [0.0625, 0.07692308, 0.09090909, 0., 0.27272727, 1.]])
ingredients = ['var_%d' % i for i in range(6)]

ingredient_pairs = ['var_{}_{}'.format(
    ingredients.index(var[0]), ingredients.index(var[1])) 
    for var in product(ingredients, ingredients) 
    if ingredients.index(var[0]) > ingredients.index(var[1])]  
# Flatten the similarity array
indices = np.triu_indices_from(similarity)
similarity = similarity[indices]

scores = np.random.randint(1, 3, size=len(ingredients))
costs = np.random.randint(20, 60, len(ingredients))
scores = dict(zip(ingredients, scores))
costs = dict(zip(ingredients, costs))
similarity = dict(zip(ingredient_pairs, similarity))
x = pulp.LpVariable.dict(
    'x_%s', ingredients, lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
y = pulp.LpVariable.dict(
    'y_%s', ingredient_pairs, lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
model += sum([scores[i] * x[i] for i in ingredients]) + sum([
    similarity[i] * y[i] for i in ingredient_pairs])
model += sum([costs[i] * x[i] for i in ingredients]) <= threshold
for pair in ingredient_pairs:
    indexes = pair.split('_')[1:]
    for index in indexes:
        # y_{ij} <= x_i and y_{ij} <= x_j Q
        model += y[pair] <= x['var_{}'.format(index)]
    # y_{ij} >= x_i + x_j - 1
    model += y[pair] >= sum(x['var_{}'.format(i)] for i in indexes) - 1
solver = pulp.solvers.PULP_CBC_CMD()
model.solve(solver)
model.writeLP('similarity.lp')
print 'Objective: {}'.format(pulp.value(model.objective))
for v in model.variables():
    if v.varValue > 10e-4:
        print v.name, v.varValue

我希望这有帮助。

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