检查有向无环图中两个顶点之间是否存在路径 - 查询

Question

这个问题可以很容易地在每个查询的 O(n + m) 中解决，但是这有可能以比 O(n²) 更好的预处理以更复杂的方式回答此类查询吗？

在树中，可以通过使用预序和顺序轻松完成。 我在 DAG 中尝试过类似的东西，但没有任何意义。

我也尝试过把这个问题改成 LCA in DAG problem，但是在 DAG 中找到 LCA 解决得不够快。

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准确地说，约束让我们说：

n - 顶点数，最多 10^5

m - 边数，最多 10^5

q - 查询数，最多 10^5

Answer 1

有趣的问题。 我的直觉说“不”。 不过我还没想好。

但是（假设这个问题不是理论问题），出于实际目的，您可以使用Bloom filter 。

使用布隆过滤器解决您的问题的一种可能解决方案是首先生成 K 个不同顺序的图，并为每个顺序存储从节点到其索引的映射。 然后，为了测试从 N1 到 N2 的“可达性”，您检查（foreach 顺序）N1 的索引是否小于 N2 的索引（此检查是 O(1)）。 如果这对所有订单都成立，那么它是可以达到的（ 假设 K 足够大）。 （根据您的实际用例，偶尔生成此类误报甚至可能是可以的，或者您可以运行可靠的 O(N+M) 检查）。 否则，绝对不是。

Answer 2

我有一种感觉，可能有以下几行的解决方案，但这绝不是一个完整的解决方案。

让 S 是顶点的子集。 对于图中的每个顶点 V，考虑集合 D_S(V)，我定义如下： D_S(V) = {V} 如果 V 在 S 中，否则，D_S(V) 是 {V} 与V 的所有直接后代 W 的集合 D_S(W)。（也就是说，它是“V 的所有最终后代，但是只要碰到 V 的一个元素就停止递归”。）问题是：我们能找到一个集合吗？ S 使得 S 的大小为 O(f(N)) 并且 D_S(V) 对于所有 V 的大小为 O(g(N))，其中 f 和 g 是渐近次线性的？ （例如，也许我们可以同时实现两者的 sqrt。）

如果我们能找到这个，那么我建议采用以下策略。 对于预处理，为 S 中的每个 U 创建一个哈希表，其中包含最终可从 U 到达的所有顶点。这可以在 O(f(N) * M) 中实现； 这不一定比 O(N^2) 好，但至少比 O(M*Q) 好。

现在回答一个查询“U 是否可以从 V 到达？”，如果 V 在 S 中，这是微不足道的。否则，我们检查是否 V = U，在这种情况下它也是微不足道的。 最后，我们将相同的过程应用于 V 的所有后代，递归地，如果通过上述两种情况中的任何一种，答案为“是”，则返回“是”，但仅当我们找不到 U 时才返回“否”。这个递归需要O(g(N)) 步。

剩下的问题是如何选择 S。我认为如果该图来自出度遵循幂律的某个过程，则可能只采用出度最高的 sqrt(N) 顶点。 但是例如，如果我们有 N=2*K 个顶点 (i, 0) 和 (i, 1) 上的图，有 K^2​​ 条边：从每个 (i, 0) 到每个 (j, 1)； 那么就没有合适的子集 S。但也许没有合适的 S 的图必须具有一定程度的一致性，我们可以利用......或者可能没有。 我不知道。 任何想法，让我知道！

Answer 3

通过压缩强连通分量，任何用于 DAG 可达性查询的算法都可以用于回答一般有向图上的此类查询。 所以我不认为 DAG 条件可以降低复杂性。

对于有向图的可达性查询，本文提到的索引构建技术可能对某些情况有所帮助。

Answer 4

如果您正在考虑通过一些预处理来提供快速的多个 path_exists(src_vertex, dest_vertex) 查询，请考虑调用Warshall 的算法来确定传递闭包，该闭包告诉有向图中任意两个任意节点之间是否存在路径，作为预处理步骤（可能在服务器启动时）。 该算法的最坏情况时间复杂度为 O(n^3)，空间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是节点数。 该算法的 output 是一个 nxn 矩阵，其中如果 node_i 和 node_j 之间存在路径，则 matrix[i][j] = 1，否则为零。 因此，在查询服务时，您可以通过在传递闭包矩阵中查找 (i,j) 对来在 O(1) 时间内返回结果。