有向非循环图中两个顶点之间的最大加权路径

Question

喜欢这个问题的一些指导：

G是有向无环图。 您想要从顶点c移动到顶点z。 一些边缘会降低您的利润，一些会增加您的利润。 如何在最大化利润的同时从c到z。 什么是时间复杂度？

谢谢！

Answer 1

该问题具有最佳子结构。 为了找到从顶点c到顶点z的最长路径，我们首先需要找到从c到z所有前驱的最长路径。 这些问题的另一个问题是另一个较小的子问题（从c到特定前任的最长路径）。

让我们将z的前身表示为u1,u2,...,uk和dist[z]为从c到z的最长路径然后dist[z]=max(dist[ui]+w(ui,z)) ..

下面是3个前辈省略边集权重的说明：

因此，要找到z的最长路径，我们首先需要找到其前任的最长路径并取最大值（它们的值加上它们的边缘权重到z ）。

这要求每当我们访问顶点u ，必须对所有u的前辈进行分析和计算。

所以问题是：对于任何顶点u ，如何确保一旦我们设置dist[u] ， dist[u]以后永远不会改变？ 换句话说：如何确保在考虑任何来自u边缘之前我们已经考虑了从c到u所有路径？

由于图是非循环的，我们可以通过在图上找到拓扑排序来保证这种情况。 拓扑排序就像一个顶点链，所有边都从左到右指向。 因此，如果我们在顶点vi那么我们已经考虑了所有通向vi路径并且具有dist[vi]的最终值。

时间复杂度：拓扑排序需要O(V+E) 。 在最糟糕的情况下， z是一个叶子而所有其他顶点都指向它，我们将访问所有图形边缘，给出O(V+E) 。

Answer 2

设f（u）是您在DAG中从c到u的最大利润。 然后你想要计算f（z） 。 这可以使用动态编程/拓扑排序在线性时间内轻松计算。

对c以外的每个u初始化f（u）= -infinity，并且f（c）= 0 。 然后，继续以DAG的某些拓扑顺序计算f的值。 因此，由于顺序是拓扑的，对于正在计算的节点的每个进入边缘，计算其他端点，因此只需选择该节点的最大可能值，即f（u）= max（ f（v）+ cost（ v，u） ）每个进入边缘（v，u） 。

Answer 3

自DAG以来，最好使用Topological Sorting而不是Bellman Ford 。

资料来源： - http://www.utdallas.edu/~sizheng/CS4349.d/l-notes.d/L17.pdf

编辑：-

G是具有负边缘的DAG。

一些边缘会降低您的利润，一些会增加您的利润

• 边缘 - 增加利润 - 正值
• 边缘 - 减少利润 - 负值

在TS之后，对于TS顺序中的每个顶点U，放松每个输出边缘。

dist[] = {-INF, -INF, ….}
dist[c] = 0 // source

for every vertex u in topological order
  if (u == z) break; // dest vertex
  for every adjacent vertex v of u
    if (dist[v] < (dist[u] + weight(u, v))) // < for longest path = max profit
      dist[v] = dist[u] + weight(u, v)

ans = dist[z];