有向非循環圖中兩個頂點之間的最大加權路徑

Question

喜歡這個問題的一些指導：

G是有向無環圖。 您想要從頂點c移動到頂點z。 一些邊緣會降低您的利潤，一些會增加您的利潤。 如何在最大化利潤的同時從c到z。 什么是時間復雜度？

謝謝！

Answer 1

該問題具有最佳子結構。 為了找到從頂點c到頂點z的最長路徑，我們首先需要找到從c到z所有前驅的最長路徑。 這些問題的另一個問題是另一個較小的子問題（從c到特定前任的最長路徑）。

讓我們將z的前身表示為u1,u2,...,uk和dist[z]為從c到z的最長路徑然后dist[z]=max(dist[ui]+w(ui,z)) ..

下面是3個前輩省略邊集權重的說明：

因此，要找到z的最長路徑，我們首先需要找到其前任的最長路徑並取最大值（它們的值加上它們的邊緣權重到z ）。

這要求每當我們訪問頂點u ，必須對所有u的前輩進行分析和計算。

所以問題是：對於任何頂點u ，如何確保一旦我們設置dist[u] ， dist[u]以后永遠不會改變？ 換句話說：如何確保在考慮任何來自u邊緣之前我們已經考慮了從c到u所有路徑？

由於圖是非循環的，我們可以通過在圖上找到拓撲排序來保證這種情況。 拓撲排序就像一個頂點鏈，所有邊都從左到右指向。 因此，如果我們在頂點vi那么我們已經考慮了所有通向vi路徑並且具有dist[vi]的最終值。

時間復雜度：拓撲排序需要O(V+E) 。 在最糟糕的情況下， z是一個葉子而所有其他頂點都指向它，我們將訪問所有圖形邊緣，給出O(V+E) 。

Answer 2

設f（u）是您在DAG中從c到u的最大利潤。 然后你想要計算f（z） 。 這可以使用動態編程/拓撲排序在線性時間內輕松計算。

對c以外的每個u初始化f（u）= -infinity，並且f（c）= 0 。 然后，繼續以DAG的某些拓撲順序計算f的值。 因此，由於順序是拓撲的，對於正在計算的節點的每個進入邊緣，計算其他端點，因此只需選擇該節點的最大可能值，即f（u）= max（ f（v）+ cost（ v，u） ）每個進入邊緣（v，u） 。

Answer 3

自DAG以來，最好使用Topological Sorting而不是Bellman Ford 。

資料來源： - http://www.utdallas.edu/~sizheng/CS4349.d/l-notes.d/L17.pdf

編輯：-

G是具有負邊緣的DAG。

一些邊緣會降低您的利潤，一些會增加您的利潤

• 邊緣 - 增加利潤 - 正值
• 邊緣 - 減少利潤 - 負值

在TS之后，對於TS順序中的每個頂點U，放松每個輸出邊緣。

dist[] = {-INF, -INF, ….}
dist[c] = 0 // source

for every vertex u in topological order
  if (u == z) break; // dest vertex
  for every adjacent vertex v of u
    if (dist[v] < (dist[u] + weight(u, v))) // < for longest path = max profit
      dist[v] = dist[u] + weight(u, v)

ans = dist[z];